受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

二次関数と一次関数の応用問題、三角形の面積を求めろの解説
中三の二次関数を習うと、二次関数と一次関数の応用問題で三角形の面積を求めろって問題がよくでます。


これは典型的なのを一つやり方覚えてとくと、だいぶんテストの時に違うと思います。


例えば

二次関数y=2x^2と一次関数y=2x+4と言う直線があって、二次関数と直線の交点をA(-1,2)とB(2,8)って言うところまで求まってるとします。

そして三角形OABの面積を求める問題を今からやります。
Oは原点のことです。

090117_m6.jpg

直線のy軸との交点をC(0,4)とすると

y軸で三角形OABを三角形CAOと三角形CBOの二つに分解して、

三角形CAOはOCを底辺と考えるとその長さは直線のy切片である4で、

高さはAのx座標が-1だから、点AからOCまでの距離は1なので

1/2×4×1=2
になります。

また

三角形CBOはOCを底辺と考えるとその長さは直線のy切片である4で、

高さはBのx座標が2だから、点BからOCまでの距離は2なので

1/2×4×2=4
になります。

だから合計して三角形OABの面積は

2+4=6

になります。

こうやって、座標から高さが求まるって言うのをちょっと意識してください。


それで、もう少し簡単に解く方法で三角形を変形させる方法があります
例えば直線lと直線mがあって、平行だとします。
l//m
そして、直線m上に点BとCがあって、直線lに点Aあるとします。
090117_m7.jpg
このとき、点Aがある直線lのどこに点A'をとっても、三角形ABCとA'BCの面積は同じです。

まず底辺のBCはどちらも共通です。

後は高さですがl//mなので高さhは点A'をl上のどこにとっても一定です。

だから面積はどっちも1/2×BC×hで同じになります。


このことから三角形ABCは点Aを直線l上で動かして変形させても面積はずっと同じことになります。


元の二次関数の問題に戻ってこれを使ってみます。
090117_m8.jpg
点Aをx軸に垂直に降ろした点A'(-1,0)
点Bをx軸に垂直に降ろした点B'(2,0)を考えると、
直線とy軸との交点をC(0,4)として

三角形CAOは三角形CA'Oと面積は同じです。
AA'とy軸とOCは平行だから同じです。

また同じように

三角形CBOは三角形CB'Oと面積は同じです。


すると元の三角形OABは三角形CA'B'と同じ面積です。

CA'B'の面積は
A'B'の長さは1+2=3
OCは長さは4

だから
1/2×3×4=6

になります。


こうやって底辺と平行な線上で動かして変形させると面積が求まりやすくなります。


まあこの問題ではそんなに大変さは変わりませんが、図形問題とかでも使うことがあるので、頭の片隅に入れておいてください。

中学数学の公式や問題の解説




テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育

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