受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験2009年度数学1A第3問、三角比と平面図形の問題の解説
センター試験の嘘つき…
と言うことで、センター試験2009年度数学1Aの第3問、三角比と平面図形の問題をやります。


[問題]
第3問
△ABCにおいて、AB=1,BC=√7,AC=2とし、∠CABの二等分線と辺BCとの交点をDとする。
このとき、∠CAB=(アイウ)°であり
BD=(√(エ))/(オ),CD=(カ)(√(キ))/(ク)
である。

参考図↓
090119_m2.jpg

ADの延長と△ABCの外接円Oとの交点のうちAと異なる方をEとする。このとき、∠DABと等しい角は、次の(0)~(4)のうち(ケ)と(コ)である。
ただし、(ケ)と(コ)の解答の順序は問わない。

(0)∠DBE (1)∠ABD (2)∠DEC (3)∠CDE (4)∠BEC

これより、BE=√(サ)である。
また、DE=(シ)/(ス)である。
次に、△BEDの外接円の中心をO'とすると
O'B=(セ)(√(ソ))/(タ)
であり
tan∠EBO'=(√(チ))/(ツ)
である。

[解答と解説]
△ABCで三辺の長さがわかってるから、∠CABは余弦定理を使って
cos∠CAB=(AB^2+AC^2-BC^2)/(2AB・AC)
=(AB^2+AC^2-BC^2)/(2AB・AC)
=-1/2
だから∠CAB=120°

それでセンターの幾何は結構中学生的に考えて欲しいんですが、∠CABの二等分線と辺BCとの交点をDだから
AB:AC=BD:DC
でBD=xとすると
1:2=x:√7-x
から
2x=√7-x
より
x=(√7)/3
DC=√7-√7/3
=(2√7)/3
です。

090115_m1.jpg

センターはこういう角の二等分線の比はよくでます。
三角形の面積の比と考えてください。
∠BAD=∠CAD=θとすると
△ABD:△ADC=1/2・AB・ADcosθ:1/2・AC・ADcosθ
=AB:AC
また△ABDと△ADCでBDとDCを底辺と考えると高さhは共通で
△ABD:△ADC=1/2・BD・h:1/2・DC・h
=BD:DC
だから
AB:AC=BD:DC
です。


090119_m3.jpg
∠DABと等しいのは二等分線から∠EACとも等しいですが、まず円周角を見てください。
∠EAC=∠DBE、∠DAB=∠ECDです。
だから一つは
∠DBEだとわかります。

こうやってセンターの平面図形は円周角とかかなり中学生的に考えることが多いです。

もう一つはどれかよくわかりません。

センターは前問が誘導になってました。

そういえば∠CAB=120°と求めさせられました。
だから∠DAB=120°/2=60°
より
∠DBE=60°
∠DCE=60°
と言うことは
∠BEC=180°-60°-60°
=60°
でこれも∠DABと等しいことがわかりました。

と言うように、センターはよく前問を見てください。


△BECは正三角形とわかりました。
だから
BE=BC=√7

でDEは△DBEがBD=(√7)/3、BE=√7で∠DBE=60°ってわかってるから余弦定理より
DE=√(BD^2+BE^2-2BD・BEcos60°)
=7/3


△BEDの外接円の中心をO'としてBO'を求めろってことですが、やっぱり最後の最後に正弦定理から外接円の半径を求めさせられる問題がでました。
センターはほんまよく正弦定理で外接円の半径も止めるネタがよくでます。
090108_m6.jpg

写真も使いまわしです。

a/sinA=b/sinB=c/sinC

まではわかるけど、この2Rが忘れがちなので注意してください。

忘れたら、直角三角形で考えると斜辺が2Rになるからsin∠A=a/2Rって導けます。


と言うことで
O'B=DE/(2sin∠DBE)
=(7√3)/9


090119_m4.jpg

tan∠EBO'は
O'BをもとめさせられたのでO'Bを使うのが予想されます。

O'からBEに垂線O'HをひくとHは弦BEを二等分します。

だからBH=BE/2=(√7)/2です。
三平方の定理から
O'H=√(BO'^2-BH^2)
=(√7)/(6√3)

tan∠EBO'=O'H/BH
=(√3)/9
です。

こうやって前問が誘導になっていることに注意して中学生的に解くと言う感じでやってください。

センター試験の過去問の解説




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