受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験2009年度数学1A第4問、場合の数と確率の問題の解説
世の中はセンター試験とセンター試験でないもんがあるねん。

それがわかってきたところで2009年度数学1A第4問、場合の数と確率の問題をやります



[問題]
第4問
さいころを繰り返し投げ、出た目の数を加えていく。その合計が4以上になったところで投げることを終了する。

(1)
1の目が出たところで終了する目の出方は(ア)通りである。
2の目が出たところで終了する目の出方は(イ)通りである。
3の目が出たところで終了する目の出方は(ウ)通りである。
4の目が出たところで終了する目の出方は(エ)通りである。

(2)
投げる回数が1回で終了する確率は(オ)/(カ)であり、2回で終了する確率は(キ)/(クケ)である。終了するまでに投げる回数がもっとも多いのは(コ)回であり、投げる回数が(コ)回で終了する確率は(サ)/(シスセ)である。終了するまでに投げる回数の期待値は(ソタチ)/(ツテト)である。

[解答と解説]
(1)
(ア)は
1の目がでたところで終了するってことは前回が3の時です。

3になるには
(1,1,1)
(1,2)
(2,1)
(3)
の4通りで後は1が出ればよいから4通り。

センターはこうやって数え上げていく感じやるのがコツです。


(イ)は
2の目がでたところで終了するってことは前回が3か2の時です。

3になるのは4通りでした。

2になるのは
(1,1)
(2)
の2通りで後は2が出ればよいから合計して4+2=6通りです。


(ウ)は
3の目がでたところで終了するってことは前回が3か2か1の時です。
3か2は6通りでした。

1になるのは1が出たときの1通りです。

だから合計して6+1=7通りです、

(エ)は
4の目がでたところで終了するってことは前回が3か2か1かこれが初めてやった時です。

だから
3か2か1かは7通りで、初めてやった時の目が4やった時の1通りをたして8通りです。


こうやってセンターの場合の数や確率は何か定石を使おうとするより数え上げていくのがコツです。


(2)
1回で終了するのはそら4,5,6が出るときで確率は
3/6=1/2

2回は
(1,6)(1,5)(1,4)(1,3)
(2,6)(2,5)(2,4)(2,3)(2,2)
(3,6)(3,5)(3,4)(3,3)(3,2)(3,1)
で確率は
15/(6×6)=5/12

終了するまでに投げる回数がもっとも多いのは
出来るだけ続けようとすると
(1,1,1)って1が3回でて次は何が出ても終了だから4回です。

4回で終了する確率は(1,1,1)って1が3回でる確率で(1/6)^3=1/216


こうやって3回の確率だけを飛ばしてくるとは、余事象で求めろって言わんばかりです。
センターはよくストーリーを見てください。

3回は
1-1/2-5/12-1/216=17/216
です。

よって期待値は

1×1/2+2×5/12+3×17/216+4×1/216
=343/216

不安になる数字がでました。

センター試験の過去問の解説




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