受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験2009年度数学2B第1問、対数関数の最大値の問題と三角関数の問題の解説
センター試験の数学2Bは難しかったと聞きましたが、みんなどうやったんやろ。
2009年度の数学2Bの第1問、対数関数の最大値と三角関数の問題

[問題]
第1問
[1]x≧2,y≧2,8≦xy≦16のとき、z=log_2(√x)+log_2(y)の最大値を求めよう。
s=log_2(x),t=log_2(y)とおくと、s,t,s+tのとり得る値の範囲はそれぞれ
s≧(ア),t≧(ア),(イ)≦s+t≦(ウ)
となる、また

z=((エ)/(オ))s+t

が成り立つから、zはs=(カ),t=(キ)のとき最大値(ク)/(ケ)をとる。したがって、zはx=(コ),y=(サ)のとき最大値(ク)/(ケ)をとる。

[2]0≦θ<2πの範囲で
5sinθ-3cos2θ=3…(*)
を満たすθについて考えよう。
方程式(*)をsinθを用いて表すと
(シ)(sinθ)^2+5sinθ-(ス)=0
となる。したがって、-1≦sinθ≦1より
sinθ=(セ)/(ソ)
であり、-0≦θ<2πの範囲でこの等式を満たすθのうち、小さい方をθ1,大きい方をθ2とすると

cosθ1=(√(タ))/(ソ),

cosθ2=(チ)(√(タ)/(ソ)
である。

θ1について不等式(ツ)が成り立つ。(ツ)に当てはまるものを、次の(0)~(5)のうちから一つ選べ。

(0)0<θ1<π/12
(1)π/12<θ1<π/6
(2)π/6<θ1<π/5
(3)π/5<θ1<π/4
(4)π/4<θ1<π/3
(5)π/3<θ1<π/2

ただし、必要ならば、次の値

cos(π/5)=(1+√5)/4,cos(π/12)=(√6+√2)/4
を用いてもよい。
さらに、不等式nθ1>θ2を満たす自然数nのうち最小のものは(テ)である。


[解答と解説]
[1]x≧2からlog_2をとって、底が1より大きいから大小関係は保存されて
log_2(x)≧log_2(2)=1
より
s≧1

またy≧2だから同様に

t≧1
です。まあどっちも(ア)になってますが。

s+t=log_2(x)+log_2(y)
=log_2(xy)
と言うように対数の足し算は掛け算みたいになって

8≦xy≦16
からlog_2をとって

log_2(8)≦log_2(xy)≦log_2(16)

8=2^3だから
log_2(8)=3

16=2^4だから
log_2(16)=4

3≦s+t≦4
となります。

また
z=log_2(√x)+log_2(y)

√x=x^(1/2)だから
z=1/2×log_2(x)+log_2(y)
=1/2×s+t

そして
s≧1,t≧1,3≦s+t≦4を求めさせられたのでこれはs,t図を書いて
z=s/2+t⇔t=-s/2+zの直線は、zがt切片になるからそれが最大値になるように
領域s≧1,t≧1,3≦s+t≦4と交わるように動かして
090119_m5.jpg
図からs=1とs+t=4の交点(1,3)を通るときが最大になることがわかります。

よって最大値は
s=1,t=3の時,1/2+3=7/2

後はその最大の時のxとyを求めて
log_2(x)=1からx=2(1=log_2(2))

log_2(y)=3からy=2^3=8(3=log_2(2^3))

です。


[2]
加法定理より
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
だから
cos2θ=cosθcosθ-sinθsinθ
={1-(sinθ)^2}-(sinθ)^2
=1-2(sinθ)^2
です。
だから
5sinθ-3cos2θ=3

5sinθ-3(1-2(sinθ)^2)=3

6(sinθ)^2+5sinθ-6=0

です。
もちろん加法定理から導くよりちゃんとニ倍角の公式
sin2θ=2sinθcosθ
cos2θ=(cosθ)^2-(sinθ)^2
=2(cosθ)^2-1
=1-2(sinθ)^2
を覚えてるのが理想です。

よって
6(sinθ)^2+5sinθ-6=0
をsinθの二次方程式と考えて
(2sinθ+3)(3sinθ-2)=0
で-1≦sinθ≦1だから
sinθ=2/3です。
このとき

cosθ=±√(1-(sinθ)^2)
=±(√5)/3
だから
解答欄の形から
cosθ1=(√5)/3,
cosθ2=-(√5)/3
しか入りようがありません。


ちゃんと解説すると、sinθ=2/3>0だから小さい方の角θ1は
0<θ1<π/2
だからcosθ1>0
大きい方は
π/2<θ2<π
だからcosθ2<0
です。

(ツ)の選択肢ですが0からπ/2までの間のどの辺かってことを聞いています。
0からπ/2ではcosは1から0へ変化する減少関数でした。

cosθ1=(√5)/3
で二乗すると5/9だから結構cos(π/4)の2乗の(1/√2)^2=1/2に近そうです。

こうやってだいたいの値をまずは調べてみたりとか、センターでは処理能力ってものが求められます。


cos(π/4)=(1/√2)<(√5)/3
より
π/4>θ1がわかりました。

どこまで小さいかですが、次はπ/4の次に小さいπ/5の時と比べてみて

(1+√5)/4-(√5)/3
=(3-√5)/12>0
(3^2-(√5)^2=4>0)
だから
cos(π/5)=(1+√5)/4>(√5)/3
より
π/5<θ1

とわかりました。

と言うことで
π/5<θ1<π/4
の(3)とわかりました。


nθ1>θ2を満たす最小の自然数nを求めるには、まず解答欄をみてください。
最小のものは(テ)である。

だからn=1~9の9個しか答えの候補はないので、しらみつぶし的な方法で解けると予想できます。
そしてセンターは今までの問題が誘導になってることが基本なので、今までのを考えてみると

π/5<θ1<π/4でした。

そしてsinθ=2/3のもう一つの大きい方の解がθ2であったので
θ2=π-θ1です。

だからこれらから

-π/4<-θ1<-π/5

π-π/4<π-θ1<π-π/5

3π/4<θ2<4π/5
って範囲がでました。

これと
nπ/5<nθ1<nπ/4
を比べると

nθ1>θ2になるには、少なくとも3π/4<nπ/4でなければいけません。

そうじゃないと絶対にnθ1>θ2にならへんからな。

これはnθ1>θ2⇒3π/4<nπ/4dつまり3π/4<nπ/4は必要条件と言うことであって、逆は成り立つとはこの時点では限らないことに注意してください。

3π/4<nπ/4⇔3<n⇔4≦n

nは3より大きいってことは自然数だから4以上と同じ意味です。

つまり少なくともnは4以上あると言うことがわかり、nの範囲が狭まりました

後はn=4,5,6,…って代入していきます。

n=4の時 4π/5<4θ1<π
となって、これは
nθ1>4π/5>θ2を満たします。

と言うことは、n≧4だったのでn=4で成り立つなら最小のものはn=4とわかります。

よってn=4が答えです。

センター試験の過去問の解説




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