受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験2009年度数学2B第2問、微分積分の問題の解説
ああ、もう朝になったか。

センター試験2009年度数学2Bの第2問、微分積分の問題いきます。


[問題]
第2問
放物線y=2x^2をC,点(1,-2)をAとする。
点Q(u,v)に関して、点Aと対称な点をP(x,y)とすると
u=(x+(ア))/(イ),v=(y-(ウ))/(エ)
が成り立つ。QがCウエを動くときの点Pの軌跡をDとすると、Dは放物線
y=x^2+(オ)x+(カ)
である。
二つの放物線CとDの交点をRとSとする。ただし、x座標の小さい方をRとする。
点R,Sのx座標はそれぞれ(キク)、(ケ)で、点R,Sにおける放物線Dの接線の方程式はそれぞれ
y=(コ),y=(サ)x-(シ)
である。

Pを放物線D上の点とし、Pのx座標をaとおく。Pからx軸に引いた垂線と放物線Cとの交点をHとする。(キク)<a<(ケ)のとき、三角形PHRの面積S(a)は
S(a)=1/(ス)・((セ)a^3+a^2+(ソ)a+(タ))
と表される。
S(a)はa=(チ)/(ツ)のとき、最大値をとる。

a=(チ)/(ツ)のとき、直線HRと放物線Dの交点のうち、Rと異なる点のx座標は(テ)/(ト)である。このとき、(テ)/(ト)≦x≦(チ)(ツ)の範囲で、放物線Dと直線PHおよび直線HRで囲まれた図形の面積は(ナニヌ)/(ネノ)である。

[解答と解説]
点Q(u,v)に関して、点A(1,-2)と対称な点をP(x,y)とするってことは点Aと点Pの中点がQってことです。
だからAとPの各座標を足して2で割ったのQの座標で
u=(x+1)/2,v=(y-2)/2
です。

Q(u,v)がC上を動くからC:y=2x^2に代入して
v=2u^2

(y-2)/2=2{(x+1)/2}^2

y=(x+1)^2+2
=x^2+2x+3
です。
C:y=2^x2とD:y=x^2+2x+3の交点はy消去して
2x^2=x^2+2x+3

(x-3)(x+1)=0
より
x=-1,3
で点Rがx=-1,点Sがx=3です。

点R,Sにおける放物線Dの接線の方程式は、まず微分しておいて
y'=2x+2
だから点R,Sでの接線の傾きはそれぞれ
0と8
でR,Sの座標をy=2x^2に入れて求めておいて
R(-1,2),S(3,18)だから
点Rの方は

y=0(x-(-1))+2
より
y=2

点Sの方は
y=8(x-3)+18
=8x-6


(キク)<a<(ケ)のときはどうやって求めるんやって思いますが、よう見たらR,Sのx座標の値のことですでに塗り塗りしてて
-1<a<3
です。

△PRHはまあ図を書いてください。
090119_m7.jpg
1/2・|x1y2-x2y1|とかなんか公式あるかもしれませんが、センターはそういう知識ではなく図を描いて自然に処理するって言うのがコツです。

それぞれ座標は
P(a,a^2+2a+3)
H(a,2a^2)
R(-1,2)

で底辺は
PH=a^2+2a+3-(2a^2)=-a^2+2a+3

高さはPのx座標からRのx座標を引いて
a-(-1)=a+1
よって
S(a)=1/2・(a+1)(-a^2+2a+3)
=1/2・(-a^3+a^2+5a+3)

この最大値は微分して
S'(a)=1/2・(-3a^2+2a+5)
=-1/2・(3a-5)(a+1)

で極値はa=5/3,-1で-1<a<3だから、S(a)が最大値を持つなら最大値は端点と極値でしかとならないからa=5/3でしかとりえません。
a=(チ)/(ツ)
って言う解答欄を見ても、5/3しか入りません。

ですが、一応ちゃんと増減表とグラフをかいてと。
090119_m8.jpg

直線HRは傾きは(2a^2-2)/(a-(-1))=2(a-1)
でa=5/3だから傾きは4/3
これが点R(-1,2)を通るから直線HRは
y=(4/3)(x-(-1))+2
=(4/3)x+10/3
でD:y=x^2+2x+3だからy消去して

(4/3)x+10/3=x^2+2x+3

(x+1)(3x-1)=0

だからx=-1,1/3です。
(x+1)で因数分解できずはずなので、因数分解しやすいです。


1/3≦x≦5/3の範囲で放物線Dと直線PHと直線HRで囲まれた図形の面積はまずは図を書いて
090119_m6.jpg

∫(1/3,5/3){x^2+2x+3-((4/3)x+10/3)}dx

ですがDとHRの交点はx=-1,1/3より
x^2+2x+3-((4/3)x+10/3)=(x+1)(x-1/3)
と因数分解できるはずです。
∫(α,β)(x-α)(x-β)dx=-(β-α)^3/6
は使えませんがこの公式を証明するときの手法を使って積分する範囲はx=1/3からなのでx-1/3=tと置換すると積分範囲が
0~4/3になってちょっと楽になります。

∫(0,4/3)t(t+4/3)dt
=[(1/3)t^3+(2/3)t^2](0,4/3)
=64/3^4+32/3^3
=160/81


なんか、実は今までの問題が誘導になっていて簡単に計算できる方法とかあるんかなこれ。
ふにゅふにゅ…
考える気あるんかって話しやなこれ。

センター試験の過去問の解説




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