受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験2009年度数学2B第3問、数列の問題の解説
センター試験2009年度数学2B第3問、数列の問題の解説します。
もう眠なってきた。


[問題]
第3問
{a_n}を初項a_1が1で公比が1/3の等比数列とする。数列{a_n}の偶数番目の項を取り出して、数列{b_n}をb_n=a_2n(n=1,2,3,…)で定める。
T_n=∑(k=1~n)b_kとおく。

(1){b_n}も等比数列であり、その初項は(ア)/(イ)、公比は(ウ)/(エ)である。
したがって
T_n=((オ)/(カ))(1-(キ)/((ク)^n))
である。
また、積b_1b_2…b_nを求めると
b_1b_2…b_n=(ケ)/((コ)^(n^2))
となる。

(2)次に、数列{c_n}をc_n=2n・b_n(n=1,2,3,…)で定め、U_n=∑(k=1~n)c_kとおく。
(サ)c_(n+1)-c_n=(シ)b_n (n=1,2,3,…)
が成り立つから
∑(k=1~n)((サ)c_(k+1)-c_k)=(シ)T_n…①
である。また、この左辺の和をまとめ直すと、U_n,c_(n+1),c_1を用いて

∑(k=1~n)((サ)c_(k+1)-c_k)=(ス)U_n+(セ)c_(n+1)-(ソ)c_1…②

と表される。
①と②より
U_n=(タチ)/(ツテ)-((トナ)n+(ニヌ))/(ツテ)・1/((ネ)^n)
となる。



[解答と解説]
{a_n}を初項a_1が1で公比が1/3の等比数列だから一般項は
a_n=1×(1/3)^(n-1)
です。
そして
b_nの初項は
b_1=a_2
=1/3
で公比は
b_2=a_4=1/27
だから
b_2÷b_1=1/27÷1/3=1/9で1/9です。

よってb_k=1/3×1/9^(k-1)のk=1~nまでの和は等比数列の和a(1-r^n)/(1-r)に代入して
Tn=(1/3)(1-(1/9)^n)/(1-1/9)
=(3/8)(1-(1/9)^n)
です。
b_1b_2…b_nは初項の部分をn個かけて1/3^n
公比の部分1/9^(n-1)を1~nまでかけると
1×1/9×1/9^2×1/9^3×…×1/9^(n-1)
指数法則a^n×a^m=a^(m+n)のように指数部分は足し算になるから
1/9^(1+2+3+…+n-1)=1/9^((n-1)n/2)

よって

b_1b_2…b_n=(1/3^n)×{1/9^((n-1)n/2)}

これを整理するには
指数法則からa^(n/2)={a^(1/2)}^n
でした。
1/9^(1/2)=1/3なので

1/9^((n-1)n/2)={1/9^(1/2)}^(n^2-n)
=1/3^(n^2-n)
になるから
b_1b_2…b_n=(1/3^n)×(1/3^(n^2-n))
=1/3^(n+n^2-n)
=1/3^(n^2)
になります。

指数計算になれていないと、てこずるかもしれません。


(2)
(サ)c_(n+1)-c_n=(シ)b_n
が成り立つからって書いてますが、かたちにあわせるために
c_(n+1)を調べ見てます。
c_(n+1)=2(n+1)・b_(n+1)
=2(n+1)・1/3・(1/9)^n

この何倍かした(サ)c_(n+1)からc_nをひくとb_nの何倍かの(シ)b_nになります。

そうするには
c_(n+1)=1/9・2(n+1)・1/3・(1/9)^(n-1)
=(2n+2)/9・b_n

ってb_nを無理やり作って後はnを消すには9倍してc_nを引けばぴったりで
9c_(n+1)-c_n=(2n+2)・b_n-2n・b_n
=2b_n
です。

こうやってセンターは解答欄の形をよく見て答えを向かえにいったり、予想したり解の方針をたててください。
これは等差数列2nと等比数列b_nの掛け算で
公比の逆数の9をc_(n+1)にかけると公差2をb_nにかけたのが出てくるってことのようです。
まあ、そんな背景知識を求められてるわけではありませんが。


そしてこの∑(k=1~n)をとって∑(k=1~n)b_k=T_nだったから
∑(k=1~n)(9c_(k+1)-c_k)=2T_n…①
と言うことで、この左辺の和をU_n,c_(n+1),c_1を用いて
(ス)U_n+(セ)c_(n+1)-(ソ)c_1
にしろってことですが、c_(n+1)とc_1が出てくるってことは階差数列の和
∑(k=1~n)(c_(k+1)-c_k)=c_(n+1)-c_1

を使うことが予想されます。
階差数列の和は

∑(k=1~n)(c_(k+1)-c_k)=(c_2-c_1)+(c_3-c_2)+(c_4-c_3)+…+(c_(n+1)-c_n)
=-c_1+(c_2-c_2)+(c_3-c_3)+…+(c_n-c_n)+c_(n+1)
=c_(n+1)-c_1
のように端だけ残るって言う結構当たり前のやつです。

こんな当たり前のことなのに
∑(k=1~n)1/k(k+1)=∑(k=1~n)(1/k-1/(k+1)
=1-1/(n+1)
のように凄い計算が出来たり、
∑(k=1~n){(k+1)^2-k^2}=(n+1)^2-1
であるが(k+1)^2-k^2=2k+1だから
∑(k=1~n){2k+1}=(n+1)^2-1
整理して
2∑(k=1~n)k+n=(n+1)^2-1
から
∑(k=1~n)k=n(n+1)/2
とか導いたりとか凄い計算が出来ました。

だから実は階差数列の和は大切なんですが、そうは言うものの特に文系では使う機会もあまりなくキツイかもしれません。

で、階差数列の和を使うようにすると
∑(k=1~n)(9c_(k+1)-c_k)=9∑(k=1~n)(c_(k+1)-c_k)+8∑(k=1~n)c_k
=9c_(n+1)-9c_1+8U_n
=8U_n+9c_(n+1)-9c_1…②

になります。


またはもっと根本的な考え方として
「Σは具体的に書き下す」
をやってみくてださい

そしたらΣで描いてたらわからなかったのに、ああ、こんな当たり前のことを計算しろ言うてるのかって結構簡単にわかったりします。

だから
∑(k=1~n)(9c_(k+1)-c_k)
=9c_2-c_1+9c_3-c_2+9c_4-c_3+…++9c_n-c_(n-1)+9c_(n+1)-c_n
=-c_1+8c_2+8c_3+…+8c_n+9c_(n+1)
ってこれで
8c_2+8c_3+…+8c_n=8U_n-8c_n
やなって当たり前のようにわかるねん。

∑(k=1~n)(9c_(k+1)-c_k)=2T_n…①

∑(k=1~n)(9c_(k+1)-c_k)=8U_n+9c_(n+1)-9c_1…②
から

2T_n=8U_n+9c_(n+1)-9c_1

Tn=(3/8)(1-(1/9)^n)
c_(n+1)=2(n+1)・1/3・1/9^n
c_1=2・1/3

だったから

(6/8)(1-(1/9)^n)=8U_n+6(n+1)・1/9^n-6

U_n=6/64+6/8-(6/64+6n/8+6/8)1/9^n
=27/32-(24n+27)/32・1/9^n
です。

これは結構計算もややこしいですね。

センター試験の過去問の解説




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500枚です。明治大学のセンター試験で、英語と国語と世界史だけを選択することは可...500枚です。明治大学のセンター試験で、英語と国語と世界史だけを選択することは可能でしょうか?2次試験では国語、英語、世界史Bの受験はまず間違いないので、この3つを重点的に勉強し... 1月もあと・少しだから【2009/01/19 10:07】
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