受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験2009年度数学2B第4問、ベクトルの問題の解説
センター試験は結構あれやな。

2009年度数学2Bの第4問のベクトルの問題です。

[問題]
第4問
Oを原点とする座標空間における5点をA(0,0,1),B(1,0,0),C(0,2,0),D(-1,0,0),E(0,-2,0)とする。ひし形BCDEを底辺とする四角錐A-BCDEと、平面ABCに平行な平面との共通部分について考える。
090119_m9.jpg
(1)BC→・BA→=(ア)であり、△ABCの面積は(イ)/(ウ)である。

(2)u→=BA→,v→=BE→とおく。0<a<1とし、点B1を線分BEをa:(a-1)に内分する点とすると、BB1→=(エ)v→である。点A1を
OA1→=OA→+BB1→
で定め、線分A1B1と線分AEが交わることを示そう。A1B1上の点Pは、0≦b≦1を満たすbを用いて
OP→=OB→+bu→+(エ)v→
と表される。また、AE上の点Qは、0≦c≦1を満たすcを用いて
OQ→=OB→+(オ)u→+((カ)-c)v→
と表される。

PとQはb=(キ)=(クケ)+1のとき一致するから、線分A1B1とAEは、AEを(コ):(1-(コ))に内分する点で交わることがわかる。
この点をE1とする。
点C1を
OC1→=OC→+BB1→
で定めると、同様に考えることにより、線分A1C1と線分ADも、ADを
(サ):(1-(サ))に内分する点で交わることがわかる。この点をD1とすると
D1E1→=(シ)DE→
であり、三角形A1B1C1は三角形ABCと平行であるから、四角形B1C1D1E1の面積は
(ス)/(セ)・((ソ)-(タ)^(チ))
である。
また
|B1D1→|=√((ツ)a^2-(テ)a+(ト))
である。


[解答と解説]
(1)まず基本は始点をOにあわせるです。
後ろから前を引くです。
意味とか余計なこと考えずに後ろから前を引くだけです。
BC→=OC→-OB→
=(0,2,0)-(1,0,0)
=(-1,2,0)
BA→=OA→-OB→
=(0,0,1)-(1,0,0)
=(-1,0,1)
だから
BC→・BA→=(-1,2,0)・(-1,0,1)
=1

△ABCの面積は

|BC→|=√(1+2^2)=√5
|BA→|=√(1+1)=√2
だから

1/2×|BC→||BA→|sin∠BAC
=1/2×√(|BC→|^2|BA→|^2-(BC→・BA→)^2)
=1/2×√(10-1)=3/2

(
1/2×|BC→||BA→|√(1-(cos∠BAC)^2)
=1/2×|BC→||BA→|√(1-(BC→・BA→)^2/(|BC→|^2|BA→|^2))
=1/2×√(|BC→|^2|BA→|^2-(BC→・BA→)^2)
)

(2)点B1を線分BEをa:(a-1)に内分する点とするってあるから
BB1→=aBE→
=av→

そもそも(エ)v→は一文字しか入らないからaしかありません。

A1B1上の点Pは、0≦b≦1を満たすbを用いて
OP→=OB→+bu→+(エ)v→
とか書いてますがなんでこうなるか意味がわかりにくいですが、深く考えたら負けです。
穴を埋めてたら、意味はわからんかっても何となく答えはわかります。
AE上の点Qは、0≦c≦1を満たすcを用いて
OQ→=OB→+(オ)u→+((カ)-c)v→

とありますが、u→=BA→,v→=BE→だからBを始点に考えて
BQ→=(オ)BA→+((カ)-c)BE→
と見ればわかりやすくて

AE上にQがある条件は0≦c≦1を満たすcを使って
BQ→=cBA→+(1-c)BE→
または
BQ→=(1-c)BA→+cBE→
とよくやりますが、解答にあうのは

BQ→=cBA→+(1-c)BE→

の方です。
解答欄を先によく見てください。

だから
OQ→=OB→+cu→+(1-c)v→

でまとめると

OP→=OB→+bu→+av→

OQ→=OB→+cu→+(1-c)v→

でPとQが一致するには

bu→+av→=cu→+(1-c)v→
よりu→とv→は一次独立だから係数比較して

b=c
a=1-c

よって
b=c=-a+1です。


と言うことで
OP→-OB→=BP→からBを始点に考えて

BP→=(1-a)BA→+aBE→
=bBA→+(1-b)BE→
=cBA→+(1-c)BE→

と色々あらわせますが解答にあうのは
AEをa:(1-a)に内分する点です。

他は(1-b):bとか(1-c):cになって解答欄に入りません。

センターはよく解答欄の形を見て予想してください。



本当は数学的には文章をよ~く見ると、動点PとQを表すのにbとcを置いたからbとcが変数扱いで、線分BEをa:(1-a)に内分する点B1とすると言うようにaは定点のB1を表すものだから定数扱いなので、aで表していくのが論理です。



点C1を
OC1→=OC→+BB1→
で定めると、同様に考えることにより、線分A1C1と線分ADも、ADを
(サ):(1-(サ))に内分する点で交わることがわかる。

って言うのは四角形EBCDは菱形であるから対称性から(サ)はaです。
090120_m4.jpg
BCの中点とEDの中点と点Aを通る平面についての対称性から
線分A1B1と線分AEが、AEをa:(1-a)内分する点で交わると同じで
線分A1C1と線分ADも、ADをa:(1-a)に内分する点で交わります。



ADをa:(1-a)に内分する点をD1

AEをa:(1-a)に内分する点をE1

とすると
AD1→=aAD→
AE1→=aAE→

でAを始点に考えてやると

D1E1→=AE1→-AD1→
=aAE→-aAD→
=aDE→

これもa以外に入りようがないですが、図形的に△ADE∽△AD1E1だからDE//D1E1で相似比1:aと考えた方が早いかもしれません。


そして三角形A1B1C1は三角形ABCと平行で、四角形B1C1D1E1の面積は

最初(1)で△ABC=3/2と面積をだしました。

センターは前問が誘導になってるのでこれを使うと思われて三角形A1B1C1は→BB1を三角形ABCに足しただけだから△A1B1C1=3/2です。
(OA1→=OA→+→BB1
OB1→=OB→+→BB1
OC1→=OC→+→BB1)


さらに交点を求めて
ADをa:(1-a)に内分する点をD1
AEをa:(1-a)に内分する点をE1
としました。

そして
D1E1→=aDE→
と求めさせられました。
これらを組み合わせて図をかいて考えると、
090119_m10.jpg

D1E1//DEでD1E1:DE=a:1で
図からC1B1→=DE→です。
(△A1B1C1は△ABCをBB1→だけ平行移動したものだから)

よってD1E1//C1B1でD1E1:C1B1=a:1になり、△A1E1D1∽△ABCで相似比はa:1です。
だから 四角形B1C1D1E1は三角形A1B1C1から三角形A1E1D1を取り除いたもので三角形A1E1D1の面積は相似比が△A1E1D1と△ABCの相似比がa:1であると、面積の比はそれぞれ二乗のa^2:1になるから
3a^2/2
とわかります。
だから
四角形B1C1D1E1の面積=△A1B1C1-△A1E1D1
=3(1-a^2)/2
です。

こうやって、図を描いて誘導になってることを意識して使おうとするのがコツです。

最後に|B1D1→|は単純に座標計算して
OB1→=aOE→+(1-a)OB→
=(1-a,-2a,0)

OD1→=aOD→+(1-a)OA→
=(-a,0,1-a)

だから

B1D1→=OD1→-OB1→
=(1,2a,1-a)



|B1D1→|=√(1+4a^2+(1-a)^2)
=√(5a^2-2a+2)


最後に数学の勉強として一応

A1B1上の点Pは、0≦b≦1を満たすbを用いて
OP→=OB→+bu→+(エ)v→
と表される

の説明を書いておくと、(エ)はaでしたが点Pが線分A1B1上と言う条件は
B1P→=b・B1A1→
と表されてこれをOを始点にしそろえていくと
OP→-OB1→=b・u→

OP→=OB1→+b・u→

OP→=OB→+BB1→+b・u→

OP→=OB→+a・v→+b・u→
と出てきます

だから点Pが線分A1B1上と言う条件から
OP→=OB→+bu→+a・v→

点QがAE上と言う条件から
OQ→=OB→+cu→+(1-c)v→

と言う式が出てきてP=Qの時にu→とv→が一次独立だから係数比較してbとcが求まる(aで表せる)って言う意図になっています



自分で式を立てるならそんな難しいことはないねんけど、センター試験だけに文字の置き方とを強要されるから意図がようわからんかったりしてセンター特有の難しさがあります。

しかし、それを逆手にとれば余り意味を考えなくても解答欄の形から判断したり前問の結果を組み合わせると何となく答えがわかるのもセンターです。

出来なかったとしても数学が出来ないわけじゃなくて、慣れていないだけです。

センター試験の過去問の解説




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