受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

二つの関数が共有点を持たない条件の問題の解説、京都大学2008年度理系甲乙共通の第1問
だいぶん、もやしが成長してきたな。
今日は京都大学2008年度理系甲乙共通問題の第1問、二つの関数が共有点を持たない条件の問題です。。


[問題]
直線y=px+qが関数y=log(x)のグラフが共有点を持たないためにpとqが満たすべき必要十分条件を求めよ。


[解答と解説]
まずは色々グラフを書いてみてください。
090121_m1.jpg
そうするとp≦0であればどうやってもy=log(x)と交わります。

p>0の時は傾きpを固定してy切片のqを変化させると、y=log(x)に接する時のy切片よりも大きければよいことがわかります。

だから(logx)'=1/xだから、傾きがpになる接点(s,t)は
p=1/sよりs=1/pで,t=log(s)=-log(p)だから傾きがpの接線は
y=p(x-1/p)-log(p)
=px-1-log(p)

になります。
よってy切片が-1-log(p)だから

-1-log(p)<q

であればオッケーです。


よって、求める条件は
q>-1-log(p)かつp>0
です。


と言うように図形的に考えると簡単なんですがpを固定して共有点を持たないqの必要十分条件を求めたりとか説明が高度であることと、図をかくとp≦0で交わるがそれを証明しろって言う意図なら困るので、

頭の中では図形的に考えてpの正負で場合分けとか方針をある程度たてて解答の方はf(x)=px+q-log(x)(x>0)って関数を考えて微分して場合分けして求めたように書いた方が書きやすいし妥当です。


090121_m2.jpg

f'(x)=p-1/x=(px-1)/x

(i)p≦0のとき
f(x)=0となるxが存在することが言えたらいいわけですが、f'(x)は常に負だから減少関数です。

だからxが十分小さいとf(x)は負で、十分大きいとf(x)は正であることが言えるはずです。
そうすれば中間値の定理からf(x)=0となるxが存在する、つまり共有点を持つと言うことが言えます。

中間値の定理って言うとおおげさかもしれませんが、内容的には当たり前のことですが重大な定理で今の問題の場合f(x)はx>0で連続な関数だからグラフがつながってるわけですが、正と負の値を持つ点が存在するとその2点をどうつなげてもx軸を横断するからf(x)=0になる点が存在することになります。

二次関数の解の配置の問題で、二次関数g(x)がα<x<βに一つ解を持つ条件がg(α)g(β)<0でしたが、それも中間値の定理なわけです。

ついでに、十分小さいと正で十分大きいと負さえ示したらx軸を絶対横断するので減少関数であることはf(x)=0となるxが存在することには関係なくなります。

そして十分小さいと十分大きいとって言うのはどう表現したらいいかと言うと、極限を使って

十分小さいと正は

lim(x→+0)f(x)=lim(x→+0)(px+q-log(x))
=∞
です。
pxの部分は0で、-log(x)は∞にむかいます。


そして、十分大きいと負は

lim(x→∞)f(x)=lim(x→∞)(px+q-log(x))
=-∞
です
pxの部分もpが0以下だから0か-∞で、-log(x)は-∞にむかいます。

これでx>0でf(x)=0となるxが存在することが言えました。


(ii)p>0のとき
増減表をかいて、f(x)>f(1/p)であることがわかります。

そして
lim(x→+0)f(x)=∞
(pxの部分は0で、-log(x)の部分は∞にむかう)
から、f(1/p)>0であれば良いことになります。

f(1/p)≦0であれば、中間値の定理からf(x)=0であるxが存在してしまいます。

lim(x→∞)はf(1/p)より大きいから、考える必要がありません。


f(1/p)=1+1+log(p)>0
よって
q>-1-log(p)かつp>0と求まりました。



中間値の定理は重要な定理のわりに高校の範囲では当たり前のこと過ぎてスルーされますが意外と知らず知らずに使っているもんで、意識しておくと更に解きやすくなると思います。

ちなみに必要十分条件とか書いてるの逆にとかいらんの?

書いてみたけど当たり前すぎる

とか疑問が生じるとこですがこれはどういうことかと言うと


q>-1-log(p)かつp>0

が解でしたが

もし必要十分と言うことが問題文になければ


p=1,q=0入れたら交わらないから

p=1,q=0でええんちゃうん

って答えてもよいかもしれないことになります


その辺をこれは交わらないようなpとqの条件を全て求めろってことなんやと

言うことを正確に書いてくれてるわけやな

だから「逆に…」って言うのを調べることが重要なのではなくbr>
全て求めたか?って言うことが重要になります


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