受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

積分の不等式の証明問題、京都大学2008年度文系第1問の解説
この甲斐性なしが!


京都大学2008年度文系第1問、積分の不等式の証明の問題をやります。


[問題]
090123_m1.jpg
実数a,b,cに対してf(x=ax^2+bx+cとする。このとき
∫(-1,){f'(x)}^2dx=6∫(-1,1){f(x)}^2dx
であることを示せ。


[解答と解説]
これは何か上手く部分積分とか置換積分とか、g(x)≧0のとき
∫(s,t)g(x)dx≧0とか

シュワルツの不等式
∫(s,t){f(x)}^2dx∫(s,t){g(x)}^2dx≧{∫(s,t)f(x)g(x)dx}^2
とか、使えば出来るのかな?と思わせといて、そんなん考える暇あったらあほみたいにぶーわー計算した方が全然早くとけます。

たぶん計算する以外に無いと思います。
あったら、教えてほしいですが。


京大は
「綺麗な答え、簡単な計算」
になるように作りこまれていますが、複雑な計算をだす時はやたら複雑な計算を要求してきます。


だから大切なのは、
「今から死地に乗り込みます」
って吉田神社でおさい銭入れて手併せて祈る精神で計算をします。

そういう気持ちを持つだけで、式を省略したりせずに大きな文字で綺麗に丁寧に計算するようになりミスが減ります。

もっと簡単に解けるのでは?って思いながら中途半端な気持ちで計算してミスらないようにしてください。

090123_m2.jpg

右辺から左辺を引きます。

6∫(-1,1){f(x)}^2dx-∫(-1,1)(1-x^2){f'(x)}^2dx…(*)
まず
積分の線型性
α∫F(x)dx+β∫G(x)dx=∫{αF(x)+βG(x)}dx
でまとめます。

(*)=∫(-1,1){6{f(x)}^2-(1-x^2){f'(x)}^2}dx
=∫(-1,1){6(ax^2+bx+c)^2-(1-x^2){2ax+b}^2}dx
=∫(-1,1){6(a^2x^4+b^2^x^2+c^2+2abx^3+2bcx+2acx^2)
-(1-x^2)(4a^2x^+4abx+b^2)}dx
=∫(-1,1){6(a^2x^4+b^2^x^2+c^2+2abx^3+2bcx+2acx^2)
-(1-x^2)(4a^2x^+4abx+b^2)}dx
=∫(-1,1){10a^2^x4+6abx^3
+(-4a^2+12ac+7b^2)x^2+(12bc-4ab)x+6c^2-b^2}dx

ここで、積分区間が(-1,1)なので
∫(-a,a)x^(2n)dx=2∫(0,a)x^(2n)dx
∫(-a,a)x^(2n-1)dx=0
を使って簡単にします。

xの偶数乗と定数のような偶関数は左右対称なので(-a,a)のとこの積分は(0,a)のところの2倍

xの奇数乗のような奇関数は原点対称なので(-a,a)のとこの積分は(-a.0)と(a,0)の積分の大きさが等しくて等号が反対だから0です。


ここまで展開しなくても、奇関数をもとはやく取り除けばいいかもしれませんが、間違えないように丁寧に計算するのが一番大切です。

(*)=2∫(0,1){10a^2^x4+(-4a^2+12ac+7b^2)x^2+6c^2-b^2}dx

=2[2a^2x^5+(-4a^2+12ac+7b^2)x^2/3+(6c^2-b^2)x](0,1)

=2(2a^2+(-4a^2+12ac+7b^2)/3+(6c^2-b^2))

=(4/3)a^2+(24/3)ac+12c^2+(8/3)b^2

はい、これを見れば(8/3)b^2≧0で、後は(4/3)a^2+(24/3)ac+12c^2が平方完成をして0以上であることを証明したらいいですね。

(*)=(4/3)(a+3c)^2+(8/3)b^2≧0

よって与式は成立しました。

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