受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

確率の問題、東工大2008年度前期第3問の解説
東工大2008年度前期第3問確率の問題です。

[問題]
090123_m6.jpg
いびつなサイコロがあり、1から6までのそれぞれの目が出る確率が1/6とは限らないとする。このサイコロを2回ふったとき同じ目が出る確率をPとし、1回目に奇数、2回目に偶数の目が出る確率をQとする。

(1)P≧1/6であることを示せ。また、等号が成立するための必要十分条件を求めよ。

(2)1/4≧Q≧1/2 - (3/2)Pであることを示せ


[解答と解説]
普段の確率の問題では目が出る確率がすべて1/6ですが、それは
『同様に確からしい』
とか言うわけわからない日本語によって全て1/6と定義されているからです。

この問題ではサイコロの目は同様に確かではなく、1とか2とか5とかそれぞれ違う確率ででます。
(1)
P≧1/6を示せってことですが、これは実は余り確率の問題ではありません。
東工大の解析的な問題が多い傾向に慣れていないと、まずは樹形図をかいてみるとか全然違うことをやりかねません。
サイコロのkの目が出る確率をpkとおいてPは6変数関数であると解析的に見るのがコツです。
090123_m7.jpg
まず計算するためにサイコロのkの目が出る確率をpkをします(k=1,2,3,4,5,6)。
すると
∑(k=1~6)pk=1
です。
そら全部の事象の確率を足せば1です。

P=∑(k=1~6)pk^2

とあらわされますが、P≧1/6でPが1/6になるのはどんな時が考えてみてください。

一番簡単なのはpk=1/6つまりどの目も確率が1/6の時です。

と言うことはpk=1/6が最小となるような不等式の代表的なものに
∑(k=1~6)(pk-1/6)^2≧0
がありますが、これが利用できないかやってみます。

P=∑(k=1~6)pk^2
=∑(k=1~6)(pk-1/6)^2+1/3∑(k=1~6)pk-1/6
=∑(k=1~6)(pk-1/6)^2+1/3-1/6
=∑(k=1~6)(pk-1/6)^2+1/6≧1/6
よってP≧1/6を示せて等号成立はpk=1/6とわかりました。


他には、本当に機械的に計算だけでやる方法は
p6=1-p1-p2-p3-p4-p5をPに代入するとPはp1,p2,p3,p4,p5の2次式でp1の2次関数とも見れます。
と言うことはp1で平方完成する、またはp1で微分すると最小値がp2,p3,p4,p5の2次式で表されます。
その最小値をまた同じようにp2の二次関数と見て、平方完成やら微分で最小値を求めます。
これを繰り返すと
Pはpk=1/6の時、最小値1/6をとると証明できます。

計算はやってみましたが、しんどかったです。

しかし∑(k=1~6)(pk-1/6)^2≧0が思いつかなくて悩む時間があれば、ぶーわー計算しまくって、ちょっと間違えて消しゴムでゴシゴシ消してたらビリ!って破れて何もかも終わったほうがましです。
ちゃうちゃう、ぶーわー計算してしまった方が早く解けることがあります。


コーシー・シュワルツ
(1+1+1+1+1+1)(p1^2+p2^2+…+p6^2)
≧(p1+p2+…+p6)=1
は一瞬ですが、その前に6変数のコーシー・シュワルツの不等式を証明しなあかんような気がします。


(2)
1/4≧Qの方は
Q=p1p2+p1p4+p1p6
+p3p2+p3p4+p3p6
+p5p2+p5p4+p5p6
と見てしまうとちょっと厳しいです。

こういう式がぶーわーなってる時は固まりで見るのがコツです。
実はそんなにややこしい式ではなかったりします。

Q=p1(p2+p4+p6)+p3(p2+p4+p6)+p5(p2+p4+p6)
=(p1+p3+p5)(p2+p4+p6)

よく考えるとp2+p4+p6=1-(p1+p3+p5)です。
だからp1+p3+p5=Rとして一塊に考えると、ただのRの二次関数です。

Q=R(1-R)
=R-R^2
=-(R-1/2)^2+1/4≧1/4

よく考えると、一回目の奇数の確率は(p1+p3+p4)で二回目の偶数の確率は1-(p1+p3+p5)です。
(1)に惑わされずに奇数が出る確率をRとすると偶数の目が出る確率は1-Rと置けばめちゃめちゃ簡単でした。

090123_m8.jpg

後は
Q≧1/2-3P/2
を示します。

色々やり方あるかもしれませんが出来るだけ自然に考えれば

Q+3p/2=p1p2+p1p4+p1p6
+p3p2+p3p4+p3p6
+p5p2+p5p4+p5p6
+3/2(p1^2+…+p6^2)

この形は
(x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2
=2(x^2+y^2+z^2)
+2(xy+yz+zx)
に近いから、使えそうな気がします。

だから

Q+3p/2=
1/2{(p1+p2)^2+(p1+p4)^2+(p1+p6)^2
+(p3+p2)^2+(p3+p4)^2+(p3+p6)^2
+(p5+p2)^2+(p5+p4)^2+(p5+p6)^2}

こういうややこしい式は、さっきみたいに何か塊で扱えないか考えてみます。
だから並び替えると
Q+3p/2=
1/2{(p1+p2)^2+(p3+p4)^2+(p5+p6)^2
+(p1+p4)^2+(p3+p6)^2+(p5+p2)^2
+(p1+p6)^2+(p3+p2)^2+(p5+p4)^2}

(p1+p2)^2+(p3+p4)^2+(p5+p6)^2の部分については
p1+p2=X,p3+p4,p5+6=1-X-Yと実は二変数の二次式なだけです。

残りの二つについても構造は同じです。
だからXについて平方完成して、その最小値をYについて平方完成と言うようにいつも定石でやっていきます。

X^2+Y^2+(1-X-Y)^2=2(X+(Y-1)/2)^2+3/2・(Y-1/3)^2+1/3≧1/3

よって残りの二つも最小値1/3だから
Q+3p/2=1/2・(1/3+1/3+1/3)=1/2

よって
Q≧1/2-3P/2
が示せました。


複雑な式は固まりで見ると、実は変数が少なかったりするって言うのを意識してみてください。

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