受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

正四面体の頂点を移動する確率の問題、京都大学2008年度数学理系甲乙共通の第2問の解説
京都大学2008年度数学、理系甲乙共通の第2問、正四面体の頂点を移動する確率の問題の問題を通して言いたいのは歯磨き粉買うの忘れるなってことです。



[問題]
正四面体ABCDを考える。点Pは時刻0では頂点Aに位置し、1秒ごとにある頂点から他の3頂点のいずれかに、等しい確率で動くとする。このとき、時刻0から時刻nまでの間に、4頂点A,B,C,Dのすべてに点Pが現れる確率を求めよ。ただしnは1以上の整数とする。


[解答と解説]
090124_m5.jpg
正四面体はあまり関係なくて単に最初の文字がAで1秒ごとに他の文字に変わっていくだけです。

AからはB,C,Dのどれかに動くから確率は1/3ずつで、例えば点Bに移動する確率は1/3です。
そして点BからはA,C,Dのどれかに動くから、例えばCに移動する確率は1/3です。


こうやってまずは実験をすることで問題を理解します。


それでこの問題の解き方なんですが時刻nまでにA,B,C,Dのすべてに点Pが現れる確率と聞くと、

n人を3組に分ける方法は何通りか?

って問題を求めるときの誘導問題に出てくる

『n人をA,B,Cの部屋に入れる方法は何通りか?空はあってはいけないとする』

と似ています。
全体の3^n通りからAだけ空の場合とかを引いていったりしました。
参考→区別のつくn個のボールを3組に分ける方法を求めよの解説
この問題は解き方を覚えていて欲しいですが詳しい解説はまた今度取り上げるとして、この京大の確率の問題も同じようにして解けそうです。


まず時刻nまでにBを通らない事象をBn
時刻nまでにCを通らない事象をCn
時刻nまでにDを通らない事象をDn

とすると求める確率は全体からBを通らないまたはCを通らないまたはDを通らないものを取り除けばB、C、Dを通るから

1-P(Bn∪Cn∪Dn)

です。
ベン図を考えると

P(Bn∪Cn∪Dn)=P(Bn)+P(Cn)+P(Dn)
-P(Bn∩Cn)-P(Cn∩Dn)-P(Dn∩Bn)
+P(Bn∩Cn∩Dn)

でした

これらを求めていきます。


Bを通らない事象BnはA,C,Dをうろちょろするわけやから、毎秒B以外の2点のどちらかに動くから確率2/3です。
だからそれがn回で
P(Bn)=(2/3)^n
になります。

同様にP(Cn)=P(Dn)=(2/3)^n

事象Bn∩CnはBもCも通らない、つまりAとDだけで往復なので永遠と確率1/3です。
だから
P(Bn∩Cn)=(1/3)^n

同様にして

P(Cn∩Dn)=(1/3)^n

P(Dn∩Bn)=(1/3)^n

事象Bn∩Cn∩DnはBもCもDも通らないことですが、Aから絶対どれかに動くので不可能だから
P(Bn∩Cn∩Dn)=0

よって求める確率は

1-P(Bn∪Cn∪Dn)
=1-3×(2/3)^n+3×(1/3)^n-0
=(3^(n-1)-2^n+1)/3^(n-1)

でした。


閃きさえすれば簡単と言ういかにも京大らしい問題ですね。

しかし閃きと言っても、所詮は暗記してたパターンに一致したと言う現象なだけです。


暗記を馬鹿にしないでください。
数学の勉強法にもしつこく書いてますが暗記って言うのは理解と切り離せない深い関係です。
と言うよりほぼ理解=暗記です。

世に言う批判される暗記は、解き方を分析して細かく分割したものを覚えることです。

今言ってる暗記とは問題の解き方を一つのまとまりとして覚えて、一つのまとまりとして理解するってことです。


だから

n人を3組に分ける方法は何通りか?

って言う問題の解き方全体を暗記していれば、こんな問題なんか簡単に解けます。

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