受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

整数問題と不等式の問題、一橋大学2008年度前期数学の第1問の解説
人生って素晴らしいって言葉で、トイレ行きたくなりました。

今回は一橋大学前期の数学弟一問、不等式と整数問題です。


[問題]
kを正の整数とする。
5n^2-2kn+1<0をみたす整数nが、ちょうど1個であるようなkをすべて求めよ。


[解答]
漠然とkをすべて求めよって言われても困ります。

こういう時は必要条件でkがとりえる値を絞っていってから、残ったものをしらみつぶしに調べていく方法をとります。
このやり方はよく使うので、この問題を通して経験していってください。

f(n)=5n^2-2kn+1とおきます。
090125_m1.jpg
5n^2-2kn+1はnの二次式なので、まずは二次関数5x^2-2kx+1が0より小さい値をとらないことには5n^2-2kn+1<0となることはありません。

だからこの判別式をDとして
⇔D/4>0
⇔k^2-5>0
⇔k^2>5

です。
これが必要条件で値の候補を絞るってことです。

kは正の整数なのでk≧3です。

k=1,2だけしか消去できてませんが…。


k≧3の時、もうちょっと必要条件で絞るには

5x^2-2kx+1=0の解は
x=(k±√(k^2-5))/5
で二次関数y=5x^2-2kx+1が負のとこに、整数が2個以上あったら5n^2-2kn+1<0をみたす整数nは2個以上あることになるから2未満にするには、この負になってるとこの長さ、つまり解の差

(k+√(k^2-5))/5-(k-√(k^2-5))/5
=2√(k^2-5)/5

が2未満の時です。

これは反対に考えてもし2以上ならその区間に整数が必ず2つはあるから困ってしまいます。

2√(k^2-5)/5<2

k^2<30

kは正の整数だからk≦5で結局、3≦k≦5が必要です。


これでkの候補は、k=3,4,5だけになりました。


後はk=3,4,5¥って一つずつ代入して、解が何個あるか調べます。
090125_m2.jpg

f(x)=5(x-k/5)^2+1-k^2/5

だからy=5(x-k/5)^2+1-k^2/5のグラフより
x=k/5で最小値をとるから
x軸上のx=k/5付近にある整数で0以上になるか負になるか調べます。


k=3の時、0<3/5<1だからf(0)=1>0,f(1)=0≧0でf(n)<0は解はないことになります。

k=4の時、0<4/5<1だからf(0)=1>0,f(1)=-2<0,f(2)=13>0よりf(n)<0の解はn=1だけ。
k=5の時、5/5=1だからf(0)=1>0,f(1)=-4<0,f(2)=1>0よりf(n)<0の解はn=1だけ。

よって解が一つになるのはk=4,5です。

ただ、この問題ではもっとk=1から一つ一つ調べても大丈夫で
k≧6では
f(1)=6-12k<0
f(2)=21-24k<0
で解が二つ以上あるから適さないってわかります。
もしkが50個くらいあったら困りますが。

こうやって、

○整数問題であるが二次関数の問題として考える

○必要条件で範囲をある程度絞って、どれが問題の条件にあうのかを調べる。

って言うのをちょっと意識してみてください。

一橋大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説

整数問題の解法の解説と問題演習




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