受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

隣接三項間漸化式
今回は隣接三項間漸化式をもっと早く解けるようになるようなことを考えてみます。
まず
an+2=pan+1+qan
この解法自体はみんなよく知ってると思います。
x^2=px+q
が異なる二解α、βを持つとすると
an+2-αan+1=β(an+1-αan)
an+2-βan+1=α(an+1-βan)
が成り立って数列{an+1-αan}は公比βの等比数列、数列{an+1-βan}は公比αの等比数列だから
an+1-αan=(a2-αa1)β^(n-1)
an+1-βan=(a2-βa1)α^(n-1)
から辺々引いて
(β-α)an=β^(n-1)(a2-αa1)-α^(n-1)(a2-βa1)
もし、
x^2=px+q
が重解αを持つなら
an+2-αan+1=α(an+1-αan)
だけ成り立って
an+1-αan=α^(n-1)(a2-αa1)
an+1/α^(n+1)-an/α^n=(a2-αa1)/α^2
でbn=an/α^nと考えて、(a2-αa1)/α^2=Aとでもおくと
bn+1-bn=A

bn=A(n-1)+b1
だから答えは
an=A(n-1)α^n+α^nb1
とでます。


最初は何故これでうまく行くのかあまり意味がわからないこともあると思いますが
an+2-αan+1=β(an+1-αan)
という形にしようとすると、これを左辺にまとめると
an+2-(α+β)an+1+αβan=0
だから
an+2-pan+1-qan=0
と比べて
p=(α+β)
q=-αβ
となるα、βを求めればよいからそれは解と係数の関係から
x^2-px-q=0
の解がα、βである。
単にβ=p-αをq=-αβに代入して整理しても
α^2-pα-q=0
としても同じことがわかります。


さて意味はこれでいいんですが、もう少し違う始点で考えてみましょう。

例えば

x^(n+2)-px^(n+1)-qx^n=0

と言う方程式を考えてみます。

x^nでくくって整理すれば

x^n(x^2-px-q)=0

です。

ここで
x^2-px-q=0
が異なる二つの解α,βを持つ場合を考えると

α^(n+2)-pα^(n+1)-qα^n=0…①
β^(n+2)-pβ^(n+1)-qβ^n=0…②

これは漸化式
an+2-pan+1-qan=0
とよく見比べると、a1とa2の無視すれば
①よりan=α^n
②よりan=β^n
って漸化式が解けてしまってます。

A×①+B×②は
A{α^(n+2)-pα^(n+1)-qα^n}+B{β^(n+2)-pβ^(n+1)-qβ^n}=0

{Aα^(n+2)+β^(n+2)}-p{Aα^(n+1)+Bβ^(n+1)}-q{Aα^n+Bβ^n}=0
だからこれも
an+2-pan+1-qan=0
とよく見比べると
an=Aα^n+Bβ^n
と漸化式の解になってます。



こういうのは線型性と言ってn番目の成分がanである無限次元のベクトル
a↑=(a1,a2,a3…an…)
を考えると
α↑=(α,α^2,α^3…α^n…)
β↑=(β,β^2,β^3…β^n…)

a↑=Aα↑+Bβ↑
と表せますがここで
a1とa2の二つの値を決めれば、
a3=pa2+qa1
a4=pa3+qa2

とanはすべて一意に決まるので、anは二つの一次独立なベクトルで表せるはずだから
a↑=Aα↑+Bβ↑
で十分です。
実際
a1=Aα+Bβ
a2=Aα^2+Bβ^2
でA、Bが決まります。

だから答えは
an=Aα^n+Bβ^n
でA、Bは
a1=Aα+Bβ
a2=Aα^α2+Bβ^2
です。

例題として
an+2=5an+1-6an
a1=-2、a2=-16
を解いてみましょう。
まず
x^2-5x+6=0
の解は2,3より
an=A2^n+B3^n

an+2=5an+1-6an=0を満たし
a1=2A+3B
a2=4A+9B
となるA,Bは
A=5,B=-4
で存在してるから
an=5・2^n-4・3^n…答

anはa1,a2の条件を満たせば一意に決まっていくはずなので、これで論理はいいと思います。
かなりすっきり簡単に解けるようになりました。



次に重解の場合を考えたいと思います。

つまり
x^(n+2)-px^(n+1)-qx^n=0
と言う方程式
x^nでくくって整理して
x^n(x^2-px-q)=0

において
x^2-px-q=0が重解αだけ持つ場合です。

an=Aα^n
しかわからず
a1=Aα
a2=Aα^2
を二式を満たすようなAはa1α=a2でも無い限り存在しません。
もう一つβ^nに変わるものがいるわけです。

ここで思い出して欲しいのが
多項式f(x)が重解αを持つ必要十分条件です。
言いかえると(x-α)^2で割り切れるのが必要十分条件です。
f(α)=0
だけでは、条件が足りなかったので
f'(α)=0
としました。
たぶんチャート式に載ってると思う。

x^(n+2)-px^(n+1)-qx^n
を微分すると
(n+2)x^(n+1)-(n+1)px^n-qx^(n-1)
だから
(n+2)α^(n+1)-(n+1)pα^n-qα^(n-1)=0
を使えばええわけです。

扱いやすいようにαを両辺にかけておいて

(n+2)α^(n+2)-(n+1)pα^(n+1)-qα^n=0

にしておいて

an+2-pan+1-qan=0

と見比べると

an=nα^n

が解になっています。

これで
an=Aα^n+Bnα^(n-1)
と解できました。
これなら
a1=Aα+B
a2=Aα^2+2Bα
で定数が二つでA、Bがもとまります。

例題をみてみましょう。
an+2+6an+1+9an=0
a1=9,a2=36

まずは
x^2-6x+9=0

x=3を重解に持つ
an=A3^n+Bn3^n

an+2+6an+1+9an=0
を満たし
a1=3A+3B
a2=9A+18B
となるA,Bは
A=2,B=1
より存在しているので
an=2・3^n+n・3^n…(答)


ちなみに隣接m項間漸化式とか考えると
cm-1an+m-1+cm-2an+m-2+cm-3an+m-3…c0an=0
の漸化式が
cm-1x^m-1+cm-2x^(m-2)+cm-3x^(m-3)…c0=
cm-1(x-α1)^p1・(x-α2)^p2・(x-α3)^p3…(x-αs)^ps
とすると
答えは
an=Σ(k=1~s)Pk(n)αk^n
でPk(n)はpk-1次以下の多項式。


高校数学の公式や問題の解説




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