受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

区別のつくn個のボールを3組に分ける方法を求めよ、空は出ないものとするの解説
場合の数や確率の問題で今日は

『区別のつくn個のボールを3組に分ける方法を求めよ』

で空の出ない分け方を解説します。


「区別のつく」ボールです。

この解法を覚えていればこの前の京都大学の正四面体の頂点を移動する確率の問題も同じようにしてやれます。


3組に分けるときたら、A,B,Cに分けてから3!で割って区別をなくすって言うのがお決まりです。

だから
区別のつくn個のボールをA,B,Cの入れ物に分けて、空はないものとする方法は何通りあるかを求めます。

しかしこれは、ややこしくて頭ごちゃごちゃになりやすくて嫌な問題です。


でも実は結構簡単にできます。


まずAが空であるような集合をAnとします。
Bが空であるような集合をBnとします。
Cが空であるような集合をCnとします。

n(An)は集合Anの要素の個数とします。

するとAn∪Bn∪CnはA,B,Cの少なくとも一つは空である集合です。

と言うこと求めたいA,B,Cどれも空ではないものの個数は、全体集合Unとして
n(Un)-n(An∪Bn∪Cn)
です。

まずn(Un)は単にどのボールもA,B,Cの3通りでn個で3^n通りだから
n(Un)=3^n
です。

n(An∪Bn∪Cn)はベン図で考えてみると、
090126_m1.jpg
n(An∪Bn∪Cn)=n(An)+n(Bn)+n(Cn)
-n(An∩Bn)-n(Bn∩Cn)-n(Cn∩An)+n(An∩Bn∩Cn)

でした。

絵で考えてください。


まずn(An)はボールはBかCの2通りだから2^n
同様にn(Bn)=n(Cn)=2^n

次にn(An∩Bn)はボールはCにしか入れられないから1通りで1
同様にn(Bn∩Cn)=n(Cn∩An)=1

n(An∩Bn∩Cn)はAにもBにもCにもボールが入らないのはあり得ないから0通りです。

よって

n(An∪Bn∪Cn)=3×2^n-3+0

したがって求める個数は

n(Un)-n(An∪Bn∪Cn)=3^n-3・2^n+3

でした。



と言うように、Aに入らない、Bに入らない、Cに入らないとかの集合で考えてベン図でやるとかなりクリアにわかります。

このやり方自体を覚えていれば役に立つと思います。


後は、区別のつかないn個のボールを3組に分ける方法は

例えば

Aに1と3
Bに4
Cに2と5

が入ってると

Bに1と3
Cに4
Aに2と5



Cに1と3
Aに4
Bに2と5

なども3組分ける場合ではすべて一緒ですが、A,B,Cに区別されてるとおれが3!=6通りあります。

だから3組に分ける場合は、3!で割ります。

(3^n-3・2^n+3)/6通りが答えです。


まあ組み合わせを求めるときも、まずnPrって順列を考えてr!で割って順番を失くして
nPr/r!
これがつまりはnCrのことでした。
これと全くおなじことをやってます。

高校数学の公式や問題の解説




テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育

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