受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

3次方程式の解の問題、一橋大学2008年度前期の数学第2問
もっと、ドレッシングが無い時代に生まれたかった…。

そんなわけで一橋大学の2008年度前期数学第二問の3次方程式の解をやります。


[問題]
090126_m2.jpg
3次方程式x^3+ax^2+bx+c=0は異なる3つの解p,q,rをもつ。さらに、2p^2-1,2q-1,2r-1も同じ方程式の異なる3つの解である。a,b,c,p,q,rの組をすべて求めよ。


[解答と解説]
3次方程式で解が与えられてるってことは3次方程式の解と係数の関係を使って、

p+q+r=-a
pq+qr+ra=b
pqr=-c



(2p^2-1)+(2q-1)+(2r-1)=-a
(2p^2-1)(2q-1)+((2q-1)(2r-1)+(2r-1)(2p^2-1)=b
(2p^2-1)(2q-1)(2r-1)=-c

です。

これで文字が6つで6つの方程式が出来たら解けますやんってやってたら、たぶん大腸が3cmくらい切り取られる病気になります。


どうもそういうやり方ではない。
余りそんな3次方程式の解と係数の関係とか言う知識より、もっと単純なのではないか?と思われます。

と言うことは、もっと単純に3次方程式とみるんじゃなくて場合の数みたいにp,q,rと2p^2-1,2q-1,2r-1がどう対応してるか処理をしていってみると上手くいくかもしれません。
090126_m3.jpg
まず
p=2p^2-1とすると、この方程式を解いてp=1,-1/2です。
残りの組み合わせは
q=2q-1
r=2r-1 …①

q=2r-1
r=2q-1 …②
が考えられます。

①のときは、q=r=1で同じ値になるから不適です。

②のときも連立して解くとq=r=1で不適です。

と言うことは

p≠2p^2-1であることがわかりました。


だから次はp=2q-1を調べてみます。
2p^2-1,2q-1,2r-1と言うようにqとrについては対称になってるから、p=2q-1で決定されたようなもんであることに注意してください。


p=2q-1の時、残りの組み合わせは

q=2p^2-1
r=2r-1 …③



q=2r-1
r=2p^2-1 …④

の二つの場合だけです。

③はまずr=2r-1からr=1です。
p=2q-1とq=2p^2-1からqを消去すると
4p^2-p-3=0よりp=1,-3/4です、

p=1はr=1と同じになるから不適です。

p=-3/4はq=1/8となって
(p,q,r)=(-3/4,1/8,1)
と一つ組み合わせが出来ました。


次は④の場合です。
p=2q-1とq=2r-1からqを消去して
p=4r-3
これとr=2p^2-1からrを消去して
8p^2-p-7=0からp=1,-7/8です。

p=1の時、p=4r-3からr=1で不適です。

p=-7/8はp=4r-3からr=17/32、q=2r-1からq=1/16で
(p,q,r)=(-7/8,1/16,17/32)
と組が出来ました。


090126_m4.jpg

p=2r-1の時は、qとrの対称性から
(p,q,r)=(-3/4,1,1/8),(-7/8,17/32,1/16)
です。

ここまでわかれば、後はa,b,cだけですがここで3次方程式の解と係数の関係を使います。別に(x-p)(x-q)(x-r)を展開するのと同じなので、この問題では特に3次方程式の解と係数の関係を覚えてる必要はないですが、やっぱり覚えておいた方が理解が深まると思います。

(p,q,r)=(-3/4,1/8,1),(-3/4,1,1/8)の時は

a=-(p+q+r)
b=pq+qr+ra
c=-pqr

にちょっと計算がしんどいけど代入して

(a,b,c)=(-3/8,-23/32,3/32)です。

(p,q,r)=(-7/8,1/16,17/32),(-7/8,17/32,1/16)の時は

a=-(p+q+r)
b=pq+qr+ra
c=-pqr

にほんまにこれ代入するんか!?って思いましたが、どうもほんまに代入する空気やったから根性でやりました。

(a,b,c)=(9/32,-249.512,119/4096)

こんな答えで出たら不安になりますね。

一橋大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




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