受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

二次関数の接線と積分の値の極限の問題、東京工業大学の2007年度第2問の解説
生きてる人間より生きてる人間の方が恐いな。

東京工業大学の2007年度第2問、二次関数の接線と積分の極限の問題です。


[問題]
090126_m5.jpg
正数aに対して、放物線y=x^2上の点(a,a^2)における接線を、Aを中心に-30°回転した直線をlとする。lとy=x^2との交点でAでない方をBとする。さらに点(a,0)をC、原点をOとする。

(1)lの式を求めよ。

(2)線分OC,CAとy=x^2で囲まれる部分の面積をS(a)、線分ABとy=x^2で囲まれる部分の面積をT(a)とする。このとき
lim(a→∞)T(a)/S(a)
を求めよ。


[解答と解説]
090126_m6.jpg
まずは図を書いて問題を把握しましょう。
図を書いてると、lは点Aでの接線の傾きを-30°回転させたやつで点Aを通る直線だと整理されてきます。

(1)
090126_m7.jpg
まずlの傾きですが点Aでの接線がx軸正方向とのなす角をθすると傾きはtanθですが、
それを-30°回転させた直線の傾きはtan(θ-30°)になります。
だからtanの加法定理からも求まりそうです。
tanθはy=x^2を微分して(x^2)'=2xより
tanθ=2a
です。
だから
tan(θ-30°)=(tanθ-tan30°)/(1+tanθtan30°)
=((2√3)a-1)/(2a+√3)

lの傾きはこれでオッケーで点A(a,a^2)を通るから

l:y=((2√3)a-1)/(2a+√3)(x-a)+a^2
={((2√3)a-1)/(2a+√3)}x+(2a^3-(√3)a^2+a)/(2a+√3)

で求まりました。

(2)
090126_m8.jpg

積分も図を見て式を立てていきます。
S(a)は単にy=x^2をx=0からaまで積分だから
S(a)=∫(0,a)x^2dx=a^3/3
です。

そしてT(a)の方はかなりの基本的な問題ですが、ただ一つBのx座標が複雑な式と言うことが注意です。
直線lをy=f(x)とおくと
x^2-f(x)=x^2-{((2√3)a-1)/(2a+√3)}x-(2a^3-(√3)a^2+a)/(2a+√3)
は点(a,a^2)で交わるから(x-a)でくくれるはずです。

そしたら残りの因数は(2a^3-(√3)a^2+a)/(2a+√3)をaで割って
(x+(2a^2-(√3)a+1)/(2a+√3))
になるはずです。
よって
x^2-f(x)=(x-a)(x+(2a^2-(√3)a+1)/(2a+√3))
でBのx座標はx=-(2a^2-(√3)a+1)とわかりました。
ややこしいのでこの値をbと置いておきます。

T(a)=∫(b,a)(f(x)-x^2)dx
=-∫(b,a)(x-a)(x-b)dx
=(a-b)^3/6
=1/6・((4a^2+1)/(2a+√3))^3

です。

この手の積分は、このように因数分解した形に持っていって処理するのがコツです。


最後に極限を求めて

lim(a→∞)T(a)/S(a)=lim(a→∞)1/2・((4a^2+1)/(a(2a+√3)))^3
=lim(a→∞)1/2・((4+1/a^2)/(2+√3/a))^3
=1/2・(4/2)^3=4
です。

かなり普通の問題ですが、ポイントは恐らくlの式がaのややこしい式になっていて、積分の計算の処理を上手く出来るかってとこだと思います。

直線F(x)と二次関数G(x)の差は二つがx=αとx=βで交わってると、二次関数のx^2の係数をa(>0)とするとG(x)やF(x)がどんな複雑な式であろうと
G(x)-F(x)=a(x-α)(x-β)
と因数分解できて、
∫(α,β)(x-α)(x-β)dx=-(β-α)^3/6を使って

∫(α,β){F(x)-G(x)}dx=-a∫(α,β)(x-α)(x-β)dx

とやって求めるって言う一連の流れを身体で覚えてることで、かなり正確に速く解けるようになります。

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