受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

確率と場合の数の違い、同様に確からしいとは…
確率は場合の数を使って求めました。

例えば

「A,B,C,D,Eと書かれた5個のボールが入った見えない箱から3個ボールを取るとします。
さて、取ったボールにAが含まれている確率はいくらでしょう?」

って問題あったとすると、まず5個のボールから3つ選ぶ方法は5C3=10通り。

Aを選んで、残りの4個のボールから2個選ぶ方法は4C2=6通り。

よって確率は6/10=3/5です。


そしたら次の問題も考えてみてください。

「コイン4枚を投げた時に、表が2つになる確率を求めよ。」

これも場合の数を使うと、表を○、裏を×と表記すると

表と裏の出方は全部で
○○○○
○○○×
○○××
○×××
××××
の5通りです。

そのうち表が2つなのは
○○××
だけなので確率は

1/5

です。




おえ~!?


常識で考えたら4枚中2枚表なわけやから小さ過ぎるような気がします。


こうやって場合の数と確率はごちゃごちゃになることがあります。


ポイントは確率は普通の場合の数と違って

『同様に確からしい』場合の数を考えなければならないことです。


同様に確からしいってわけわからん日本語ですが、同じ確率であるってことです。


つまりさっきの問題では

○○○○
○○○×
○○××
○×××
××××

は同様に確かな場合わけではないわけです。


この問題で同様に確かなのは、コイン1枚が表になる確率と裏になる確率が等しくて1/2と言う条件です。
これは問題文に書いてなくても暗黙の了解です。
わざわざ書いてくれている親切な問題もあります。


だから、コイン4枚の確率の場合はコイン1枚1枚を別々のものとみて

○○○○
○○○×
○○×○
○×○○
×○○○
○○××
○×○×
×○○×
○××○
×○×○
××○○
○×××
×○××
××○×
×××○
××××

が同様に確かならしい場合わけです。

表か裏の2通りが4枚の2^4=16通りになってます。


表2枚になるのは6/16=3/8でした。

まあ普通は4C2/2^4=3/8って計算するところですね。

同様に確からしいって言葉で、根元事象(1番細かい場合わけ)の確率が定義されています。

だから確率は何らかの確率を定義してそこから計算しないと求まらないと言うことも意味します。

つまり確率の定義

(ある事象の起こる場合の数)/(起こりえる全ての場合の数)

では誤解が生じやすくて、もっとはっきり書くとすると


『根元事象の確率が全て確率pである時、

p=1/(根元事象の総数)

であり

事象Aの起こる確率P(A)=(事象Aに含まれる根元事象の数)×p




って考えるねん。

結局はある確率を求めようとすると計算では原理的に求めるのは不可能で、物理的な実験して統計データをとって出てきた確率を使うことで計算できます。

まあまあ、またなんかおっさんが言うてますが、こうやって場合の数と確率の違いや、区別をつける、区別をつけないとか、ごちゃごちゃになっていると、難しい問題では間違えてしまうので、この例題を通して理解していってください。

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