受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

空間図形の問題、京都大学2008年度数学理系乙第3問の解説
トイレ行きたなってきた。

今回のは京都大学2008年度理系乙の第3問、空間図形の問題です。


[問題]
090128_m1.jpg
空間の1点Oを通る4直線で、どの3直線も同一平面上にないようなものを考える。
このとき4直線のいずれともO以外の点で交わる平面で、4つの交点が平行四辺形の頂点になるようなものが存在することを示せ。


[解答と解説]
090128_m2.jpg
090128_m3.jpg
実は全然難しいと言うわけではなく、めちゃめちゃ簡単です。

そうは言っても、京大らしいこんな抽象的な問題は、どういう風に式を立てて論理を構成していくか難しいと思います。

一瞬で答えられるウルトラな解答もあるかもしれませんが、空間を語るには空間ベクトルが一番扱いやすいので空間ベクトルでやります。

存在するって言う証明によく使う方法の一つに、実際に一つ作るって言う方法があります。
この問題を通して、それを体験していってください。

平行四辺形であることを示すには、ある平面をとって4直線の交点をA,B,C,Dとすると
AB→=DC→
になるってことを言えば良いわけですが、いつものように始点をOに揃えると
OB→=OA→+OC→-OD→
でこうなるには、OA→とOC→とOD→はどの三直線も同じ平面に無いから一次独立だからOB→はBがある直線以外の3直線の方向ベクトルをa→,c→,d→すると(単位ベクトルと考えても良い)これらで表されるはずです。

それを解答にしていきます。

まず4直線の方向ベクトルをa→,b→,c→,d→とします。
sを0でない実数とするとb→,c→,d→は一次独立だから
sa→=tb→+uc→+vd→
となる実数t,u,vが存在します。
t,u,vのどれかが0であると、sa→は2つのベクトル、または1つのベクトルで表されて同一平面上にあることになってしまうから、t,u,vどれも0ではありません。

そして
sa→=OA→,sb→=OB→,sc→=OC→,sd→=-OD→
となるように点A,B,C,Dをそれぞれの直線にとります。

すると
OA→=OB→+OC→-OD→

BA→=DC→

です。
s,t,u,vはどれも0でないからA,B,C,DはOとはちゃんと異なっています。
これでかなりの所まで来ましたが、BAとDCが同じ直線上にあったら困るから、
どの三直線も同一平面にないからBAとDCが同じ直線上にないと断っておきます。

BAとDCが同一直線上にあるとしたら、そら4直線とも同じ平面にもあることになるからな。

したがって、四角形ABDCは平行四辺形です。

よって平面ABDCが与えられた条件を満たすから、問題の平面は存在することが言えます。

こうやって、具体的に一つ条件を満たすものを作って存在することを示すって言うのをこの問題を通して体験していってください。

京都大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/166-5cd43172
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

わんこら日記で日記とか勉強の仕方とか書いています

わんこら式数学の勉強法

メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください
勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください

詳しいプロフィール

人気blogランキングへ



にほんブログ村 受験ブログへ



学生広場

相互リンクも募集してます。

何かあれば
kazuschool_ht★yahoo.co.jp
かメールフォームからメールください。
(★を@にしてください)

カテゴリー

メールフォーム

名前:
メール:
件名:
本文:

FC2カウンター

リンク

このブログをリンクに追加する

お勧めの参考書、ノート

数学でお勧めのノートは
KOKUYOの無地
理由




センター試験は過去問が大切


チャートが終わったらお勧め
大学への数学1対1シリーズ
数学1


数学A


数学2


数学B


数学3


数学C

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード

最近のトラックバック

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

  1. 無料アクセス解析