受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

領域の問題、一橋大学2008年度前期の第3問
風邪ひいてもうあきませんわ。

一橋大学2008年度の前期数学第3問、領域の問題をやります

[問題]
090128_m4.jpg
aを正の実数とする。点(x,y)が不等式x^2≦y≦xの定める領域を動くとき、常に1/2≦(x-a)^2+y≦2となる。aの値の範囲を求めよ。


[解説]
x^2≦y≦xの定める領域が1/2≦(x-a)^2+y≦2の領域に含まれるということです。
そういう(x,y)が存在するようなaを求める(逆像法や逆手流とか言う)のも違うっぽそうです。

とりあえず数学は、まずは図を書いてみることで問題が理解出来て解法の糸がつかめます。
癖にしといてください。
090128_m5.jpg

まず
x^2≦y≦xと
1/2≦(x-a)^2+y⇔-(x-a)^2+1/2≦y
を書いてみます。

-(x-a)^2+1/2≦yは-(x-a)^2+1/2=yの上側の領域で、aはこの放物線の軸になっています。
するとaを小さくしていくと、y=x^2に接するところまで小さく出来てそれ以上小さくすると-(x-a)^2+1/2≦yに入ら無い部分が出来ます。
だからそこがaの最小値です。

-(x-a)^2+1/2=x^2

4x^2-4ax+2a^2-1=0の判別式が0であればいいから、a>0に注意して
a=1
とわかります。
これが最小値だから
a≧1

090128_m6.jpg
今度は

x^2≦y≦xと
(x-a)^2+y≦2⇔-(x-a)^2+2≧y
を書いてみます。

するとy=xの0≦x≦1の部分よりy=-(x-a)^2+2が上側にあればオッケーです、
090128_m7.jpg

だから
-(x-a)^2+2≧x

x^2+(1-2a)x+a^2-2≦0

が0≦x≦1で満たされればよいから

f(x)=x^2+(1-2a)x+a^2-2

とおくと、f(x)=0の解の二つの解が0以下と、1以上であればよいので

f(0)≦0
f(1)≦0

であればオッケーです。

二次方程式の解の配置の問題ってやつですこれは。


f(0)≦0⇔0≦a≦2
f(1)≦0⇔-√2≦a≦√2

だから1≦aとあわせて

1≦a≦√2とわかりました。


こうやって、まずは図を書くって言うのが大切です。

後は二次方程式の解の配置問題はよく使うので、覚えといてください。

一橋大学の入試の数学の過去問の解説

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