受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

正八角形の周上の三角形の面積の最大値、東京工業大学2007年度前期の第3問の解説
さて、東京工業大学2007年度の第3問、正八角形の周上の三角形の面積の最大値をやります。


[問題]
090128_m8.jpg
一辺の長さが1の正八角形A1A2…A8の周上を3点P,Q,Rが動くとする。

(1)△PQRの最大値を求めよ。

(2)Qが正八角形の頂点A1に一致し、∠PQR=90°となるとき△PQRの面積の最大値を求めよ。


[解答と解説]
090129_080649_R.jpg
まずP,Q,Rは正八角形の頂点を動くのではなく周上を動くことに注意です。
結局△PQRが最大になるにはP,Q,Rは頂点上にあるのが必要ですが、それをまずは説明します。

まずP,Qを周上に適当にとります。
すると△PQRが最大になるように点Rをとろうとすると、頂点の時になります。
頂点でないところに点Rがあると右か左にどちらかに動かすと高さは隣の頂点にたどり着くまでに増加し続けるか、ずっと同じかのどっちかになります。
だから結局、最大値を計算するには点Rが頂点のときで十分です。

さらに点Rが頂点の状態でRQを底辺と考えると同様にして点Pが頂点の時を考えれば十分。
点Qも頂点の時で十分です。


ちょっと説明が難しいですね。

しかし絵を描いて、絵を見たらわかるって言う解答にすれば簡単です。

文章をだらだら書くより絵を書いて見ればわかるって言う解答の方が大学先生にはるかに喜ばれます。
これはオレが大学で数学セミナーやってる時に先生が何回も図を書いたら終わりって言ってたので確かです。

頂点にあるときを計算すればよいことになると、あとは場合の数でよくやった場合わけです。
090128_m9.jpg
円の対称性から点PはA1に固定してよくて、A1A5についての対称性から点QはA2~A5まで考えたら十分です。


(i)Q=A2の時はPQを底辺と考えて、高さが最大になるのは点RがA5の時の形です。
A6もオッケーですが、最大値を求めるだけなのでこれで十分です。

(ii)Q=A3も同様にして点RがA6の時でオッケー


090128_m10.jpg
(iii)Q=A4の時もR=A6で高さは最大です。

(iv)Q=A5の時もR=A7で高さは最大です。


そしてこの(i)~(iv)の形の三角形でどれが最大になるかを考えます。
090128_m11.jpg
まず(ii)(iii)は同じ形です。
(i)と(ii)では図を見ればわかりますが、どちらの三角形にもA1A6と同じ長さになる辺のとこを底辺と考えれば(ii)の方が高さが高いので(ii)の方が大きいです。

(iv)と(ii)では図を見ればわかりますが、どちらの三角形にもA1A7と同じ長さになる辺のとこを底辺と考えれば(ii)の方が高さが高いので(ii)の方が大きいです。

結局(ii)の形の三角形の面積を求めたら最大値がわかることがわかりました。


090128_m12.jpg
求め方は色々ありますが、△A1A6A3を求めるとして図のように正八角形を正方形で囲んでA1A6で分けられる長方形で点A3を含まないほうを正方形から切り抜いて2で割れば出ます。

中学生でも求められるやり方ですね。

でも∠A1A6A3=45°でA1A6=A3A6=1+2×1/√2=1+√2だから
1/2×(1+√2)^2sin45°=1+(3√2)/4

で普通は求めると思います。

(2)∠PQR=90°ってことはPRが正八角形の外接円の直径になるようにすればオッケーです。
すると二つの三角形の形しかありません。
090128_m13.jpg
P=A2とQ=A6の時はRQ=1+2×1/√2=1+√2だから
△PQR=1/2×1×(1+√2)
=(1+√2)/2

P=A2,R=A7の時は直角二等辺三角形になりますが、RQはさっきの正方形のようにして三平方の定理を使えば
√{(1+1/√2)^2+(1/√2)^2}=√(2+√2)

△PQR=1/2×√(2+√2)^2
=(2+√2)/2

明らかに(2+√2)/2の方が(1+√2)/2より大きいから最大値は(2+√2)/2です。


この問題は最大になる三角形は何となくわかるけど、それを説明するのが難しい問題でした。
絵を描きまくって、説明するのがコツです。
大学の先生は、文字をだらだら書かれるより、絵を見ればわかるって言う解答の方がはるかに喜ばれて数学的な考え方が身についていると判断されます。
何回言うてるねんって話しですねこれ。

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