受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

三角形の内接円の半径と、三角形の頂点から接点までの距離の求め方の解説
AB=3,BC=4,AC=5の三角形ABCがあるとします。

『三角形A,B,Cに内接する円の中心をOとして、円Oの半径rを求めよ。』
090129_m1.jpg
この問題は、Oから各頂点A,B,Cに線で結びます。

すると△ABCは、△ABOと△BCOと△ACOに分解されます。

だから面積の関係は

△ABC=△ABO+△BCO+△ACO

で、△ABCは3:4:5の直角三角形なので面積は1/2・3・4=6です。


また円が直線に接してるときは、その直線と円の中心と接点を結んだ直線と垂直でした。だから△ABOは辺ABが底辺とすると、高さは半径のrです。
同様に△BCO+△ACOも、辺BCと辺ACが底辺で高さがrです。

よって
△ABO+△BCO+△ACO=1/2・AB・r+1/2・BC・r+1/2・AC・r
=r(AB+BC+AC)/2
=r(3+4+5)/2
=6r
です。

だから△ABC=△ABO+△BCO+△ACOより

6=6r

r=1
と求まります。

こうやって、内接円の半径は面積の関係で求めるって言うやり方を覚えていってください。


今度は、同じ三角形
『AB=3,BC=4,AC=5の三角形ABCがあるとします。
中心をOとして円Oが三角形ABCに内接してるとします。
円Oと辺BCの接点をS,円Oと辺ACの接点をT,円Oと辺ABとの接点をRとする。
このとき、ATの長さを求めよ。』


090129_m2.jpg

直角三角形AOTとAORに注目してください。

これらは斜辺ACが共通で、ORとOTはどっちも内接円の半径だから等しいです。
だから直角三角形の合同条件、斜辺とのその他の一辺が等しいので合同です。

よってAR=ATとわかりました。

同様にしてBR=BS,CS=CTがわかります。

AR=AT=x
BR=BS=y
CS=CT=z
とおきます。

090129_m3.jpg

すると辺
AB=x+y
BC=y+z
AC=x+z
です。

3=x+y…①
4=y+z…②
5=x+z…③

普通に解いてもいいですが、こういう対称性のある方程式を解くときは、全部足してみるのがコツです。

①+②+③:
x+y+y+z+z+x=3+4+5
2(x+y+z)=12
x+y+z=6…④

これで
④-①:z=3
④-②:x=2
④-③:y=1

と求まります。


だからな、三角形に内接する円なんて悲しいこと言わないで。

何を一人で言うとんねん。

中学数学の公式や問題の解説

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