受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

正四面体の辺上の三角形の最小値、一橋大学2008年度前期数学の第4問の解説
さっそく一橋大学の2008年度前期の第4問、正四面体の辺上の三角形の最小値をやります。

ベクトルの問題としてはかなり典型的な問題なので、いいベクトルの練習問題にもなってます。


[問題]
正四面体OABCの1辺の長さを1とする。辺OAを2:1に内分する点をP、辺OBを1:2に内分する点をQとし、0<t<1をみたすtに対して、辺OCをt:1-tに内分する点をRとする。

(1)PQの長さを求めよ。
(2)△PQRの面積が最小になるときのtの値を求めよ。

[解答と解説]
まずは正四面体の図を書いてP,Q,Rの印を入れていきましょう。
そうすることで、問題がよく理解出来て解法が見えてきます。
090129_m4.jpg
正四面体をベクトルで扱う場合、準備として
OA→=a→,OB→=b→,OC→=c→
と基本ベクトルをとって、一辺の長さが1だから
|a→|=|b→|=|c→|=1
三角形はすべて正三角形だからなす角度は60°より
a→・b→=b→・c→=c→・a→
=1・1・cos60°=1/2
と、やっておけば便利です。

(1)
条件を一つ一つベクトルの式にします。
辺OAを2:1に内分する点をPは
OP→=(2/3)a→
辺OBを1:2に内分する点をQは
OQ→=(1/3)b→
です。

PQの長さを求めたいから始点をOに揃えて
PQ→=OQ→-OP→
って何も深いことは考えずに後ろのQから前のPを引きます。
それで代入していって
PQ→=(1/3)b→-(2/3)a→
長さは√(内積の二乗)のことだから
|PQ|^2=|(1/3)b→-(2/3)a→|^2
=((1/3)b→-(2/3)a→)・((1/3)b→-(2/3)a→)
=1/9-2・2/3・1/2+4/9
=1/3

よってPQ=1/√3
です。

(2)
090129_m5.jpg
まずは
辺OCをt:1-tに内分する点をRから
OR→=tc→
で△PQRの面積をtの式で表したいのでベクトルでの三角形の面積は
1/2×√(|PQ→|^2|PR→|^2-(PQ→・PR→)^2)
って言う公式があったのでこれを使います。

これは、ただ単に
1/2・PQ・PR・sin∠QPR
の式を
sin∠QPR=√(1-(cos∠QPR)^2)
=√(1-(PQ→・PR→)^2/|PQ→|^2|PR→|^2)
って無理やりベクトルで表しただけの式なので、
1/2・PQ・PR・sin∠QPR
を求めようとしても、もちろんオッケーです。

まあでも覚えていた方が三角形の面積ってベクトルの長さ2乗の積と内積の2乗の差と新しい解釈とか出来て理解が早まります。


と言うことで、
|PQ→|^2=1/3
はさっき求めたらオッケーで
|PR→|^2=|OR→-OP→|^2
=|tc→-(2/3)a→|^2
=t^2-2t/3+4/9

PQ→・PR→=((1/3)b→-(2/3)a→)・(tc→-(2/3)a→)
=t/6-1/9-t/3+4/9
=-t/6+1/3

090129_m6.jpg

そして
△PQR=1/2×√(|PQ→|^2|PR→|^2-(PQ→・PR→)^2)
=1/2×√(1/3・(t^2-2t/3+4/9)-(-t/6+1/3)^2)
=1/2×√(11t^2/36-t/9+1/27)
=1/12×√(11(t-2/11)^2+32/33)

って平方完成してt=2/11の時に最小値になります。

最後は計算がちょっとややこしいですね。

最小値を求める必要がないから

f(t)=11t^2/36-t/9+1/27
とおいて
f'(t)=11t/18-1/9
=(11/18)(t-2/11)

ってやった方が計算は少し簡単です。

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