受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

平面図形の問題、京都大学2008年度文系第2問、理系甲第3問共通の問題の解説
今宵もお月さまが、京都大学2008年度の理系甲第3問、文系第2問共通の問題です。


[問題]
AB=ACである二等辺三角形ABCを考える。辺ABの中点をMとし、辺ABを延長した直線上に点Nを、AN:NB=2:1となるようにとる。このとき∠BCM=∠BCNとなることを示せ。
ただし点Nは辺AB上に無いものとする。

[解答と解説]
この問題…中学生の模試の問題やとか言われるとすぐに解けるけど、京都大学の入試問題と思うと中々解けないと言う不思議な問題です。
090129_m7.jpg
まずAB=ACで、AB:AN=2:1でAM:MB=1:1だから
AM:MB:BN:AC=1:1:2:2
です。

すると△AMCと△ANCにおいて
共通な角から
∠CAM=∠NAC
MA:CA=1:2
CA:NA=1:2
だから△AMC∽△ANC

090129_m8.jpg

よって∠ANC=∠ACMでこの値をxとおいておいて

∠ACB=∠ACM+∠BCM
=x+∠BCM

また、△BNCで内角と外角の関係から

∠ABC=∠BNC+∠BCN
=x+∠BCN

で二等辺三角形から
∠ABC=∠ACB
だから

x+∠BCN=x+∠BCM

よって

∠BCM=∠BCN


と言うように、中学生、下手したら中学受験する子も解ける問題でした。

センター試験でも結構そうですが、中学生がやるような初等幾何はよく使います。

それを意識するだけでだいぶん違うと思います。

京都大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




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