受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

共通接線と積分の極限値の問題、東京工業大学2007年度前期第4問の解説
東京工業大学2007年度、第4問の共通接線と積分の極限値の問題いっときます。

[問題]
090129_m9.jpg
(1)整数n=0,1,2,…と正数a_nに対して
fn(x)=a_n(x-n)(n+1-x)
とおく。2つの曲線y=fn(x)とy=e^(-x)が接するようなa_nを求めよ。

(2)f_n(x)は(1)で定めたものとする。y=f0(x),y=e^(-x)とy軸で囲まれる図形の面積をS0,n≧1に対しy=fn-1(x),y=fn(x)とy=e^(-x)で囲まれる図形の面積をSnとおく。このとき
lim(n→∞)(S0+S1+…+Sn)
を求めよ。


[解答と解説]
(1)
090129_m10.jpg
2曲線が接するには、g(x)=e^(-x)として
fn(α)=g(α)
fn'(α)=g'(α)
となる実数αが存在する時です。

x=αに対する値同じで、接線の傾きも等しいってことです。

これはよく使うので覚えていてください。

fn(α)=g(α)

a_n(α-n)(n+1-α)=e^(-α)…①

fn'(α)=g'(α)

-2a_nα+(2n+1)a_n=-e^(-α)…②

二式を辺々足せばe^(-α)が消えるから
①+②:
a_n{α^2-(2n-1)α+n^2-n-1}=0

a_n>0だからa_nで割ってよくて

α^2-(2n-1)α+n^2-n-1=0

になって、これを解いて

α=n+(-1±√5)/2

とりあえずそのまま②に代入してa_nを求めます
090129_m11.jpg

a_n=-e^(-n-(-1±√5)/2)/(2±√5)
分母を有理化して
(2±√5)e^(-n-(-1±√5)/2)
a_n>0だから
a_n=(2+√5)e^(-n-(-1+√5)/2)
=(2+√5)e^(-n+(1-√5)/2)
です。

(2)
090129_m12.jpg
接点x=n+(-1+√5)/2
をα_nとおいておきます。
まずS1+S2+…+Snを図で書いてみます。

fn(x)=a_n(x-n)(n+1-x)
だからこれはx軸のx=nとx=n+1を通る上に凸な二次関数でy=e^(-x)にx=α_nで接してます。
それがぶーわー並んでいます。


だから図を見ると
∫(0,α_n)e^(-x)dx
から
∑(k=0~n-1)∫(k,k+1)fk(x)dx
+ ∫(n,α_n)fn(x)dx
を求めればよいことがわかってきます。



まともにS1+S2+…+Snを求めれば、かなりしんどいと思います。

090129_m13.jpg
∫(0,α_n)e^(-x)dx=[-e^(-x)](0,α_n)
=1-e^(-α_n)
は一瞬で求まるとして

∫(k,k+1)fk(x)dx

fk(x)=-a_k(x-k)(x-k-1)
だから積分の値は
a_k/6
も一瞬で求まるとして

問題は∫(n,α_n)fn(x)dxです。
こういうのは

∑(k=0~n-1)∫(k,k+1)fk(x)dx
+ ∫(n,α_n)fn(x)dx


∑(k=0~n-1)∫(k,k+1)fk(x)dx

∑(k=0~n)∫(k,k+1)fk(x)dx

で不等式で挟んでまうのがコツです。
極限を求めるのはよくこういうことをやります。

左辺は
1-e^(-α_n)-∑(k=0~n)∫(k,k+1)fk(x)dx
=1-e^(-α_n)-∑(k=0~n)a_k/6
=1-e^(-α_n)-(2+√5)e^((1-√5)/2)/6・∑(k=1~n+1)e^(-k+1)
=1-e^(-α_n)-(2+√5)e^((1-√5)/2)/6・(1-e^(-n-1))/(1-e^(-1))
→1-(2+√5)e^((1-√5)/2)/{6(1-e^(-1))}
(n→∞)
090129_m14.jpg

右辺はもう∑のとこのnがn-1になるだけで
1-e^(-α_n)-(2+√5)e^((1-√5)/2)/6・(1-e^(-n))/(1-e^(-1))
→1-(2+√5)e^((1-√5)/2)/{6(1-e^(-1))}
(n→∞)

で挟み撃ちの原理から
lim(n→∞)(S1+S2+…+Sn)
=1-(2+√5)e^((1-√5)/2)/{6(1-e^(-1))}

ともとまりました。

東京工業大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




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