受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

命題の真偽の問題、神戸大学2008年度理系前期第1問の解説
風邪も何もかも治らん。

神戸大学2008年度理系前期第1問、命題の真偽の問題です。


[問題]
実数x,yに関する次の各命題の真意を答えよ。さらに、真である場合には証明し、偽である場合には反例をあげよ。

(1)x>0かつxy>0ならば、y>0である。

(2)x≧0かつxy≧0ならば、y≧0である。

(3)x+y≧0かつxy≧0ならば、y≧0である。



[解答]

(1)x>0だからxy>0の両辺をxで割っても不等号の向きはそのままで、y>0。

当たり前すぎて、これでいいのか悩むところです。


(2)x≧0かつxy≧0ではx=0にするとyは何でも成り立つので、

x=0,y=-1とすればx≧0,xy≧0であるがy<0で命題は成り立たないから偽です。

(3)x+y≧0かつxy≧0ならばy≧0は直接示そうとすると色々な場合分けが必要になるので、そういう時は背理法を使えば簡単に証明しやすいです。

y<0と仮定すると
x+y≧0⇔x≧-y

であるが
x≧-y>0

よって、x>0。

x>0、y<0よりxy<0。
これは矛盾。

よってy≧0である。

これは同様にx≧0になるから、
x+y≧0かつxy≧0ならばx≧0かつy≧0
です。
しかも
x≧0かつy≧0ならば明らかにx+y≧0かつxy≧0
だから
x+y≧0かつxy≧0⇔x≧0かつy≧0

でこれを使えば二次方程式の二つの解α、βが両方0以上になる条件を求めるときに

α≧0かつβ≧0
⇔α+β≧0,αβ≧0

で解と係数の関係が使えるのをチェックしておいてください。



最後におまけですが、(1)を本当はもっと厳密にやれと言われると

任意の実数a,b,cに対して
1,a≦a(反射律)
2,a≦b,b≦aならばa=b(反対称律)
3,a≦b,b≦cならばa≦c(推移律)
4,a≦bまたはb≦aの少なくとも一方が成り立つ(全順序性)
5,a≦bならばa+c≦b+c
6,a≧0,b≧0ならばab≧0
a≦bかつa≠bをa<bとあらわす。

これらだけ使って証明します。


-x^(-1)≧0と仮定するとx>0だから6を使って
-x・x^(-1)≧0
であるがx・x^(-1)=1なので矛盾。

よって-x^(-1)<0である。
5を使って両辺にx^(-1)をたして
0<x^(-1)
で6を使って
x^(-1)>0、xy>0よりx^(-1)xy>0⇔y>0

しかしまあ、高校生にこんなことが要求されるわけではないのでたぶんxで割るだけでいいと思います。

高校数学の入試問題などの解説

神戸大学の入試の数学の過去問の解説




テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/173-8dba23ef
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

わんこら日記で日記とか勉強の仕方とか書いています

わんこら式数学の勉強法

メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください
勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください

詳しいプロフィール

人気blogランキングへ



にほんブログ村 受験ブログへ



学生広場

相互リンクも募集してます。

何かあれば
kazuschool_ht★yahoo.co.jp
かメールフォームからメールください。
(★を@にしてください)

カテゴリー

メールフォーム

名前:
メール:
件名:
本文:

FC2カウンター

リンク

このブログをリンクに追加する

お勧めの参考書、ノート

数学でお勧めのノートは
KOKUYOの無地
理由




センター試験は過去問が大切


チャートが終わったらお勧め
大学への数学1対1シリーズ
数学1


数学A


数学2


数学B


数学3


数学C

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード

最近のトラックバック

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

  1. 無料アクセス解析