受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

2円が接する時の半径を求める問題、神戸大学2008年度前期理系の第2問の解説
今日も風邪が治らんから、神戸大学2008年度前期数学理系第2問をやります。

[問題]
090130_m1.jpg
2,xy平面上に3点A(1,0),B(-1,0),C(0,√3)をとる。

このとき、次の問に答えよ。

(1)A,Bの2点を中心とする同じ半径rの2つの円が接する。このようなrの値を求めよ。

(2)(1)で求めたrの値について、Cを中心とする半径rの円が,A,Bの2点を中心とする半径rの2つの円のどちらとも接することを示せ。

(3)A,B,Cの3点を中心とする同じ半径sの3つの円が直線lに接する。このようなsの値と直線lの方程式をすべて求めよ。



[解答と解説]
円の半径と共有点の関係を復習していて欲しいですが、今回は接する場合です。

接する場合は

(2円の半径の和)=(2円の中心の距離)

です。
(1)
090130_m2.jpg
そのまま
(2円の半径の和)=(2円の中心の距離)
にあてはめて
r+r=|1-(-1)|
より
r=1です。

(2)
(2円の半径の和)=(2円の中心の距離)
でr=1って決まってるからr+r=2なので
2=AC
2=BC
を示せばいいわけです。

だから
AC=√(1^2+√3^2)=2
AB=AC=2
でオッケーです。


(3)
090130_m3.jpg
図形的にもわかるんですが、すべて求めよって時は数式的にやった方が示しやすいと思います。
だから直線lを
ax+bx+c=0
とおきます。
これはa≠0またはb≠0なことに注意しておいてください。
両方0ならc=0で,x,yには何を入れてもよいから直線でなくなります。

そして各点A,B,Cから直線lまでの距離がsになれば、半径sの3円が直線lに接することになるので点と直線の距離の公式を使って式を立てます。

s=|a+c|/√(a^2+b^2)
=|-a+c|/√(a^2+b^2)
=|√3b+c|/√(a^2+b^2)

後はこれを解くだけです。
090130_m4.jpg
sは一人干されてるから、
|a+c|/√(a^2+b^2)
=|-a+c|/√(a^2+b^2)
=|√3b+c|/√(a^2+b^2)
から√(a^2+b^2)を払って
|a+c|=|-a+c|=|√3b+c|
で連立方程式
|a+c|=|-a+c|
|a+c|=|√3b+c|
を解きます。
絶対値の扱いは
|A|=|B|⇔A=±B
または
|A|=|B|⇔A^2=B^2
あたりをよく使いますが、これは二乗が少し便利です。
別にどっちでもいんですが。

(a+c)^2=(-a+c)^2
(a+c)^2=(√3b+)^2

ac=0
a^2+ac=3b^2+2(√3)bc

ac=0を下の式に代入して

ac=0…①
a^2=3b^2+2(√3)bc…②

とすれば少しスマートです。


それで①の扱いなんですが、これはa=0またはc=0です。
a=0の時って場合わけするとc=0の場合も含まれていて
c=0の時ってやるとa=0の場合も含まれていて、どうも上手くいきません。

このac=0みたいな式の処理はa,cどっちでもいいですが
c=0とc≠0で場合わけします。

c≠0の時、①からa=0です。
これを②に代入して
b((√3)b+2c)=0
です。
これも
b=0の時とb≠0に場合わけそいたらいいですが、
b=0ならa=0でax+bx+c=0は直線になりません。
だから
b≠0です。
よって
c=-((√3)/2)b

s=|a+c|/√(a^2+b^2)
に代入して
s=|-((√3)/2)b|/√b^2
=|-((√3)/2)b|/|b|
=(√3)/2
です。

√b^2=|b|
に注意しといてください。

090130_m5.jpg

この時、直線lは(a,b,c)=(0,b,-(√3)/2)(b≠0)だから
by-(√3)b/2=0
b≠0からbで割って
y=(√3)/2

です。

次はc=0の時です。
②にc=0を代入して
(a-(√3)b)(a+(√3)b)=0
より
a=±(√3)b
a=0,またはb=0とするとa=±(√3)bからa=b=0になって、これも直線にならないから不適です。
よって
b≠0、a≠0になって

s=|√3b+c|/√(a^2+b^2)
に代入して
s=|√3b|/√(3b^2+b^2)
=(√3)/2
で後は直線lの式は
(a,b,c)=((±√3)b,b,0)(b≠0)
より
(±√3)bx+by=0
b≠0だからbで割って
y=±(√3)x

です。

これですべて求まりました。

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