受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

確率の最大値、不等式の問題、一橋大学2008年度前期の第5問の解説
ぐふっ。
だいぶんおかしなってきたとこで、一橋大学2008年度前期数学第5問、確率の問題いきます。

これ時間内に出来たやつおるんか?思うけどな。

途中で心が折れそうになったもん。


[問題]
090130_m8.jpg
nを3以上の整数とする。2n枚のカードがあり、そのうち赤いカードの枚数は6、白いカードの枚数は2n-6である。これら2n枚のカードを、箱Aと箱Bにn枚ずつ無作為に入れる。2つの箱の少なくとも一方に赤いカードがちょうどk枚入ってる確率をpkとする。

(1)p2をnの式で表せ。さらに、p2を最大にするnをすべて求めよ。

(2)p1+p2<p0+p3をみたすnをすべて求めよ。

[解答と解説]
まずは2n枚のカードを箱A,Bに入れる方法は全部で2nCn通りと求めおきます。
(1)
090130_m9.jpg
Aが赤2,白n-2
とすると
Bが赤4,白n-4
になりますが、n=3ではマイナスになるから場合分けします。

n=3の時、全部赤だから
A赤3枚、B赤3枚になって少なくとも一方が2枚になることはない。
だからp2=0。

n≧4の時

Aが赤2,白n-2
とすると
Bが赤4,白n-4

になるのは赤6枚から2枚選んで6C2、白を2n-6枚からn-2枚選んで2n-6Cn-2
で、

Bが赤2,白n-2
とすると
Aが赤4,白n-4

も同じ選び方は同じだから確率は

p2=2・6C2・2n-6Cn-2/2nCn

090130_m10.jpg

これをぶーわー計算して分母分子の同じのを約分していくと

{15n(n-1)(n-3)}/{4(2n-1)(2n-3)(2n-5)}

となります。
それでこれは、n=3で0になるからn≧3でも成立することになります。

そしてこれを
a_n={15n(n-1)(n-3)}/{4(2n-1)(2n-3)(2n-5})
とおいておきます。
最大値の求め方ですが、nの式の最大値は
a_(n+1)-a_n
を求めますが、これでは式が多くなりすぎてしんどいです。

こういうやたらに因数が多い式の時は
a_(n+1)/a_n
が1より大きいか同じか小さいかを計算すると、共通因子は約分されるので便利です。

覚えておいてください。

a_(n+1)/a_n={(2n-5)(n+1)(n-2)}/{(2n+1)(n-1)(n-3)}

ここまで計算しておいて分子と分母の大きさを比べます。

090130_m11.jpg

だから
(2n-5)(n+1)(n-2)-(2n+1)(n-1)(n-3)
を計算するわけですが、なんかほんまにこんな式になってしまってて大丈夫か?思いますがとりあえず根性で計算します。

するとなんと

-n+7

になります。

だからn=7が分かれ目ですが、n>3の時、分母は
(2n+1)(n-1)(n-3)>0
だから

n≧8の時

(2n-5)(n+1)(n-2)-(2n+1)(n-1)(n-3)<0

{(2n-5)(n+1)(n-2)}/{(2n+1)(n-1)(n-3)}<1
だから
a_(n+1)/a_n<1

a_(n+1)<a_n
になります。

n=7では
a_8=a_7
です。

n≦6では

a_(n+1)>a_n
です。

よって

0=a_3<a_4<a_5<a_6<a_7=a_8>a_9>a_10>…

で最大値はn=7,8の時とわかります。

(2)
090130_m12.jpg
6の半分は3だから、どう分けてもA,Bの少なくとも一方は必ず3以下になります。
だから0~3枚以下までの事象しかないから
p0+p1+p2+p3=1
です。

これに気づかないと、若干きついです。

よって

p0+p3=1-p1-p2
だから

p1+p2<p0+p3

p1+p2<1-p1-p2

p1+p2<1/2

こうなるnを求めればいいわけです。

だから後はp1を求めたらオッケーです。

まあp0、p3もそんなには求めるのに時間かからんと言えばかからない気がしますが、(1)で既に計算がしんどかったのでその辺の感覚がマヒしてしまってます。


と言うことで少なくとも一方が赤1枚になるには
A赤1白n-1
B赤5白n-5
または
B赤1白n-1
A赤5白n-5
ですが、n≦4ではn-5がマイナスになるから無理でp1=0です。

090130_m13.jpg
n≧5では
A赤1白n-1
B赤5白n-5
または
B赤1白n-1
A赤5白n-5
はどちらも(1)と同様に6C1・2n-6Cn-1通りだから
p1=2・6C1・2n-6Cn-1/2nCn
でこれをまた根性で計算して

{3n(n-3)(n-4)}/{2(2n-1)(2n-3)(2n-5)}

で、これもn=3,4を入れると0になるから
n≧3で成り立ちます。

090130_m14.jpg

それで
p1+p2<1/2
に戻って、これに
p1={3n(n-3)(n-4)}/{2(2n-1)(2n-3)(2n-5)}
p2={15n(n-1)(n-3)}/{4(2n-1)(2n-3)(2n-5)}
を代入します。

ほんまに代入します。

ほんまに入試中に代入するやつがおるんかわからんけど、代入します。

n≧3より
(2n-1)(2n-3)(2n-5)
ではらって整理します。

すると
3n(n-1)(7n-13)<2(2n-1)(2n-3)(2n-5)
とかふざけた式がでます。

が、しかし負けずに計算してください。

オレも一緒に計算したるから。


そしたら
n^3-6n^2+5n+6<0
とか、何か心が温まる式がでます。

これは因数分解できそうですが、n-2で因数分解できます。

(n-2)(n^2-4n-3)<0

n≧3だからn-2>0なので割れます。

n^2-4n-3<0



2-√7<n<2+√7

2<√7<3
なので、
2-√7<n<2+√7
を満たすn≧3の値は
n=3,4だけです。

これでやっと求まりました。



この問題は定石も多く使ってて結構学ぶべき点も多いんですが、計算してると途中で血吐いて倒れて隔離されるのが欠点です。

一橋大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




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