受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

円柱を平面で切り取った体積の問題、京都大学2008年度理系甲乙共通第5問の解説
あれからだいぶん日々がたったな…

またわけわからんこと言いだしたなこれ。

京都大学2008年度理系甲乙共通第5問の円柱を平面で切り取った体積の問題をやります。

[問題]
次の式で与えられる底面の半径が2、高さが1の円柱Cを考える。
C={(x,y,z)|x^2+y^2≦4,0≦z≦1}
xy平面上の直線y=1を含み、xy平面と40°の角をなす平面のうち、点(0,2,1)を通るものをHとする。円柱Cを平面Hで二つに分けるとき、点(0,2,0)を含む方の体積を求めよ。
090131_5.jpg



[解答と解説]
090131_6.jpg
とりあえずは、図を書かないことには始まりません。
と言っても書くの結構難しいですねこれ。

体積の求め方は、ある軸に垂直な平面で切った断面の面積をその軸で積分します。

この体積はx軸に垂直に切っても、y軸に垂直に切っても、z軸に垂直に切っても計算できます。
全部試してみるのも勉強になると思います。



今回は、y=kで切りました。

kの値はHはxy平面との交線がy=1で点(0,2,1)を通るから、二つに分けられた点(0,2,0)を含む方をy=kが通るのは
1≦k≦2
の時です。

順序が反対になりましたが、Hの方程式は(y,z)=(1,0),(0,1)を通る直線だからz=y-1です。

y=kで切ると、Cの断面はy=kを代入して

x^2+k^2≦4,0≦z≦1
つまり
-√(4-k^2)≦x≦√(4-k^2),0≦z≦1

でこれをy=kの断面図に書くと長方形です。


Hの方はz=y-1にy=kを代入してz=k-1で、さっきの長方形がz=k-1によって二つに切られます。

求めるほうは、下の方の面積です。

これは縦k-1、横2√(4-k^2)の長方形なので断面積S(k)は
S(k)=2(k-1)√(4-k^2)
です。

だから求める体積Vは

V=∫(1,2)S(k)dk
これを計算してくれます。

090131_7.jpg

V=∫(1,2)2(k-1)√(4-k^2)dk

√(4-k^2)を見るからには、k=2sinθかk=2cosθとか置換します。

k=2sinθと置換すると

k,1…2
θ,π/6…π/2


dk=2cosθdθ

だから

V=∫(π/6,π/2)2(2sinθ-1)|2cosθ|2cosθdθ

=∫(π/6,π/2)16(cosθ)^2sinθdθ

- ∫(π/6,π/2)8(cosθ)^2dθ


(π/6,π/2)ではcosθ≧0だから
|2cosθ|=2cosθです。

√A^2=|A|に注意しといてください。

それで整理すると

V=∫(π/6,π/2)16(cosθ)^2sinθdθ

- ∫(π/6,π/2)8(cosθ)^2dθ


∫(π/6,π/2)16(cosθ)^2sinθdθ
の部分は
(sinθ)=-(cosθ)'だから
-∫(π/6,π/2)16(cosθ)^2(cosθ)'dθ
=-[16/3cosθ](π/6,π/2)
=2√3

って言うようにcosθのかたまりで積分できます。

わかりにくい人は、cosθ=tと置換してください

∫(π/6,π/2)8(cosθ)^2dθ
の部分は2乗はニ倍角に直して積分で
(cosθ)^2=(cos2θ+1)/2
だから
∫(π/6,π/2)4(cos2θ+1)dθ
=[2sin2θ+4θ](π/6,π/2)
=2π-√3-2π/3
=-√3+4π/3

よって

V=2√3-(-√3+4π/3)
=3√3-4π/3
です。

京都大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




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