受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

倍数や余りの整数問題、神戸大学2008年度文系の第2問の解説
さあて、今日も整数問題で血を流すか。

神戸大学前期の数学文系の第2問です。

[問題]
090131_8.jpg
1からnまでの自然数1,2,3,…,nの和をSとするとき、次の問に答えよ。

(1)nを4で割った余りが0または3ならば、Sが偶数であることを示せ。

(2)Sが偶数ならば、nを4で割った余りが0または3であることを示せ。

(3)nを8で割った余りが3または4ならば、Sが4の倍数でないことを示せ。



[解答]
(1)
090131_9.jpg
S=n(n+1)/2はさすがに自明でいいと思います。

何とかを何とかで割った余りは何とかみたいな問題は、それを式に表して計算することでだいたい出来ます。

nを4で割った余りが0の時はkを自然数として
n=4k
と表します。

すると
S=2k(4k+1)
=2×(整数)
でSは偶数になります。

nを4で割った余りが3の時は、
n=4k-1(=4(k-1)+3)
と表します。

すると
S=2k(4k-1)
で同様にSは偶数になります。


何故4k+3じゃなくて、わざわざ4k-1とかわかりにくいことしてるのかと言うと

kを自然数と定義してると4k+3の場合、7以上になってしまって3を表せません。
n=4kは大丈夫やけど。


だからnが4で割ると余り1,2,3,0は
n=4k-3,4k-2,4k-1,4k
の場合わけの方が便利なわけです。


まあでもわかりにいなら、まずはmを0以上の整数として
n=4m+3
と置けるってやってください。
しかしその場合はn=4mとおくとnが0の場合も含めてしまうので注意してください。

(2)
090131_10.jpg
直接も示せますが、
n(n+1)/2=2k
と置くと
n(n+1)=4k
でnとn+1は連続2整数だからどちらかが、奇数でどちらかが偶数だから…って言うやり方もいけますが、どっちかと言うと対偶の方がもっと簡単です。

対偶は同じこと、つまり同値なので対偶を示したら題意を示したことになります。

もちろん背理法でもかまいません。
むしろ背理法の方がいいかも…。


まあとりあえず
「Sが偶数⇒n=4kまたは4k-1」
の対偶は
「n=4k-2,4k-3⇒Sは奇数」

です。

n=4k-2の時
S=(4k-2)(4k-1)/2
=(2k-1)(4k-1)
で奇数×奇数だからSは奇数です。

n=4k-3の時
S=(4k-3)(4k-2)/2
=(4k-3)(2k-1)
でこれも奇数×奇数でSは奇数です。

よってSは奇数だから対偶は示されたので、題意も成立します。


(3)
090131_11.jpg
同じようにして

nを8で割った余りが3の時は
n=8k-5(=8(k-1)+3)
と表せて
S=(8k-5)(8k-4)/2
=2(8k-5)(2k-1)
で2×奇数×奇数だから4の倍数ではありません。

nを8で割った余りが4の時は
n=8k-4
と表せて
S=(8k-4)(8k-3)/2
=2(2k-1)(8k-3)
で2×奇数×奇数だから4の倍数ではありません。

余裕があれば、また合同式を使って華麗に示したってください。

合同式≡と剰余類の説明と応用問題

高校数学の入試問題などの解説

神戸大学の入試の数学の過去問の解説

整数問題の解法の解説と問題演習




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