受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

三角関数の方程式の解の個数の問題、京都大学2008年度文系第4問の解説
京都大学2008年度文系の第4問、三角関数の方程式の解の個数をやります。

みんな、ふにゅのん見て。


[問題]
090201_m4.jpg
0≦x<2πのとき、方程式
2√2((sinx)^3+(cosx)^3)+3sinxcosx=0
を満たすxの個数を求めよ。



[解答]
方程式を見た感じ、
sinxとcosxの対称式なのが印象的です。

だから
sinx+cosxとsinxcosxで表せますが、三角関数ではsinxcosはsinx+cosxで表せました。

(sinx+cosx)^2=1+2sinxcox

だからsinx+cosxだけで表せます。

sinxとcosxの対称式は、sinx+cosxだけで表せるってちょっと意識しておいてください。

090201_m5.jpg
t=sinx+cosxとおくと合成して
t=√2sin(x+π/4)
です。

sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
はもはや暗記してしまってると言う状態になると、その辺のおっさんが褒めてくれます。

だから
-√2≦t≦√2


sinxcox=((sinx+cosx)^2-1)/2
だから
sinxcosx=(t^2-1)/2


(sinx)^3+(cosx)^3の方は

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
の方でもいいんですが、対称式の場合は
a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)
の方を使ったほうが微妙に早いので

(sinx)^3+(cosx)^3=t^3-3(t^2-1)/2


2√2((sinx)^3+(cosx)^3)+3sinxcosx=0

に代入して整理すると

f(t)=2√2t^3-3t^2-6√2t+3

このグラフがどんなんか一緒に調べてみましょう。

090201_m6.jpg

微分して
f'(t)=6(√2t^2-t-√2)

これ実は因数分解できます。
因数分解できない複雑な数になると京大の問題っぽくないので計算間違いしてないか疑ってください。

f'(t)=6(√2t+1)(t-√2)

で-√2≦t≦-1/√2ではf'(t)≧0で増加、
-1/√2≦t≦√2ではf'(t)≦0で減少。

f(-√2)=1
f(-1/√2)=13/2
f(√2)=-7

090201_m7.jpg

y=f(t)のグラフを書いてみると、0と√2の間で1点交わっています。

t=√2sin(x+π/4)
でx+π/4
π/4≦x+π/4<π/4+2π
でちょうど一周だから単位円の円周上の点とxは一対一に対応するから、tが0と√2の間の値では単位円を考えるとxは二つ解があります。

もしtが√2か-√2なら1つですが、この間なら2つです。

相変わらず勉強するのに良い問題でした。

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