受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

整数問題…不等式の操作で解く解法
整数問題は甘くて切ないことで有名ですが、前回の整数問題を因数分解で解く解法合同式≡と剰余類の説明と応用問題に続いて今回は、不等式の操作で解く解法を解説します。


方法1,
n+1≦m⇔n<m
(n,m:自然数)
を使って、余分な数字を消して共通な文字で割れるようにする。

mはn+1以上なのとmはnより大きいは同じってことです。
それでこれをどうやって使うんか言うと、

例、
a,bを自然数とする。
ab<b+1
の時、aが取りえる範囲を求めるには

ab<b+1

ab≦b
b≧1だから両辺bで割って
a≦1
これはもうa=1って決まります。


こうやって1とか余計なのを消して、両辺がある文字で割れて範囲がかなり狭まることがあります。


方法2,
条件の不等式で両辺に無理やり共通な文字で割れる式を作る。


例、
a,b,cを自然数として
a<b<c
とする。
ca+bc+ab>abc
の時,aのとり得る範囲を求めるには


ca+bc+ab>abc

3cb>abc

3>a
だから
a=1,2

このようにcaとかbcとかabとか全部bcより小さいから、左辺はbcで抑えられて3cb>abcのように無理やり共通の文字で割れる式を作ります。


だいたいこの二つを駆使すれば、かなり文字の範囲を絞れます。

文字の範囲が絞れたら、整数なので一つ一つ値を入れて成り立つか確かめたら答えが出ると言う流れです。

以下二つの問題も、同じような感じで出来るのでやってみてください。

ab+1≦abc≦ab+bc+ca+1(c<b<a、a,b,cは自然数)の時のa,b,cは?

整数問題

色々な解法があると思いますが、こういう不等式の操作が一番簡単に解けることが多いです。
いやいや、そらもちろん問題によりますよ。
n(n+1)(n+2)が6の倍数であることを証明しろとか言う問題で使ってたら、しばかれますよ

高校数学の公式や問題の解説

整数問題の解法の解説と問題演習




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