受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

倍数と余りの問題、神戸大学2008年度理系前期第3問の解説
神戸大学2008年度の理系第三問の整数問題の解説を今からします。

これは(1)と(2)は文系と共通です。

[問題]
090201_m8.jpg
1からnまでの自然数1,2,3,…,nの和をSとするとき、次の問に答えよ。

(1)nを4で割った余りが0または3ならば、Sが偶数であることを示せ。

(2)Sが偶数ならば、nを4で割った余りが0または3であることを示せ。

(3)Sが4の倍数ならば、nを8で割った余りが0または7であることを示せ。


[解答]
(1)
090131_9.jpg
(2)
090131_10.jpg
(1)と(2)の解説は神戸大学2008年度文系第2問の解説を見てください。

(3)
090201_m9.jpg

これは(2)のように対偶をとると、反対に大変になります。
「Sが4の倍数⇒n=8k,n=8k-1」

「n=8k-2,8k-3,8k-4,8k-5,8k-6⇒Sは4の倍数でない」
を証明しなければならなくなります。


しかし(2)の結果の対偶を使えばnを4で割った余りが1と2はSが偶数にならないから
n=8k-4,8k-5
の2つだけ調べればオッケーになります。


と言うことで、この話の流れに反して直接示すことにします。

k,mを自然として
S=4m
とおけて
n(n+1)/2=4m

n(n+1)=8m

nとn+1は連続2整数なので、
nが偶数でn+1が奇数
または
nが奇数でn+1が偶数
です。

8mの8はもちろん偶数の方に入るから

n=8kまたはn=8k-1(=8(k-1)+7)
と置けることになります。

よって題意は成立しました。

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整数問題の解法の解説と問題演習

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