受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

一筆書きの場合の数の問題、京都大学2008年度の文系第5問の解説
あれ、なんかこの辺に紙置いてなかったっけ?

京都大学2008年度の文系第5問、一筆書きの場合の数の問題やります。

[問題]
090204_m1.jpg
正n角形とその外接円を合わせた図形をFとする。F上の点Pに対して、始点と終点がともにPであるような、図形Fの一筆がきの経路の数をN(P)で表す。正n角形の頂点をひとつとってAとし、a=N(A)とおく。また正n角形の辺をひとつとってその中点をBとし、b=N(B)とおく。このときaとbを求めよ。

注:一筆がきとは、図形を、かき始めから終わりまで、筆を紙からはなさず、また同じ線上を通らずにかくことである。



[解答と解説]
解答がしやすいようにまず頂点に名前をつけます。
各頂点をA1=Aとして反時計回りにA1,A2,A3,…,Anとします。


だいたいnってこれば具体的にn=3くらいで実験してみると、解法がおもいついてきます。あれやこれや考える前に実際に計算用紙にn=3で一筆書きをしてみてください。

ただこの問題ではn=3でも非常に数が多いので全部はかけませんが。


適当にどんな場合があるか、お絵かきするとかなりつかめてくると思います。
090204_m5.jpg

まず隣り合う頂点間では
A1とA2,
A2とA3,
A3ちA1
では辺を通るほうと弧を通るほうの二通りがあるのがわかります。

だから2×2×2みたいなのを使いそうです。


そして辺を通るか弧を通るかで一周目をすると、二周目は通らなかったほうを通るわけだから1通りに決まっています。

さらに時計回りと反時計回りもあります。

対称性からどっちも同じ数出来るから、反時計回りのときを考えて2倍すればよさそうです。

しかも、途中まで反時計回りで回ってから折り返して反時計回りしてさっきの折り返した頂点まで行ってからまた折り返して元に戻ってくる方法もあります。

折り返す点は、三角形なら3個あります。


色々書いてここまで検討をつけられたら、後はきっちりそれを解答にします。


隣り合う2点Ak,Amの間の経路は二通りです。

まずa=N(A)を求めます。
これをまず解答の最初に書いて宣言すると、採点者にわかりやすいです。

(i)折り返しがないとき
090204_m2.jpg
反時計回りで考えると、そのまま辺か弧か選びながらぐるぐる一周まわって2^n通りで2周目は1周目で通らなかったほうに決まるから
だから2^n通りで、時計回りも同じだから結局2×2^n通りです。


(ii)折り返しがあるとき
090204_m3.jpg
反時計回りに回り始めるとして折り返す点はA2,A3,…,An,A1のn個が考えられます。

そして隣り合う各頂点の間は、一回目をそこを通るときは2^n通りでニ回目は一回目で通らなかった所を通ることになるから1通りに決まります。

よってn2^n通りあって、時計回りに回るのも同じだから

n×2^n×2通りです。

結局(i)(ii)あわせて
a=N(A)
=2×2^n+n×2^n×2
=(n+1)2^(n+1)通りです。


次にb=N(B)を求めます。

090204_m4.jpg

これはa=N(A)の場合が使えそうです。

ただ少し違うのは、Bを辺A1Anの中点にとると、Bから始まって2回目ここを通るとき弧側を通って辺の最後に辺のBに通るからa=N(A)を求める場合はここは2通りとしていましたが、1通りになります。


だからa=N(A)を求めるときの場合の、一回目にBを通る一筆がきの書き方を始点と終点のAのとこをつなげてBで切りなおします、

するとbが求まります。

一回目にBを通るほうは1/2だから
b=a/2=(n+1)2^n通りです。


この問題は創造的で良問やけど実際解くには難しいと思います。
これで文系専用の問題だからさすが京大と言う感じです。

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