受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

極限の図形問題、東京大学2007年度理系の第2問の解説
やっぱり朝早起きると、おかんがまだ寝てるからお腹空くな。


東京大学2007年度理系の第2問の極限の図形問題です。


[問題]
090207_m1.jpg
nを2以上の整数とする平面上にn+2個の点O,P_0,P_2,P_3,…,P_nがあり、次の2つの条件をみたしている。
①∠P_(k-1)OP_k=π/n(1≦k≦n)
∠OP_(k-1)P_k=∠OP_0P_1(2≦k≦n)

②線分OP_0の長さは1,線分OP_1の長さは1+1/nである。
線分P_(k-1)P_kの長さをa_kとして、s_n=∑(k=1~n)a_kとおくときlim(n→∞)s_nを求めよ。


[解答と解説]
具体的にまずn=3くらいで図形を書いてみます。
090207_m2.jpg
どうも2角が等しいから各三角形は相似であることがわかってきます。

そしてそれらの二辺の比はすべて
OP_0:OP_1=1:1+1/n
に等しいことがわかります。

ということは
OP_2=(1+1/n)OP_1,OP_3=(1+1/n)OP_2
これだけわかれば後はa_1,a_2,a_3を余弦定理で求めたら良いとだいたいわかってきました。


と言うことでやってみましょう。
090207_m3.jpg
①より△P_(k-1)OP_k∽△P_0OP_1(1≦k≦n)
だから
OP_(k-1):OP_k=OP_0:OP_1
=1:(1+1/n)
です。

したがって
OP_k=(1+1/n)OP_(k-1)
とか等比数列の漸化式がでます。

だから
OP_k=(1+1/n)^k
とわかります。

これで余弦定理から
(a_k)^2=(OP_(k-1))^2+(OP_k)^2-2OP_(k-1)OP_kcos(π/n)

=(1+1/n)^(2k-2)+(1+1/n)^2k-2OP_(k-1)OP_kcos(π/n)
=(1+1/n)^(2k-2)+(1+1/n)^2k-2(1+1/n)^(2k-1)cos(π/n)
=(1+1/n)^(2k-2)(1+(1+1/n)^2-2(1+1/n)cos(π/n))
090207_m4.jpg
a_k=(1+1/n)^(k-1)√(1+(1+1/n)^2-2(1+1/n)cos(π/n))
s_n=∑(k=1~n)a_k
={(1+1/n)^n-1}/{(1+1/n)-1}・√(1+(1+1/n)^2-2(1+1/n)cos(π/n))
={(1+1/n)^n-1}√{2(n^2+n)(1-cos(π/n))+1)}


ふにゅが何か言うてますがn^2+nは∞に発散で
1-cos(π/n)は0に近づきますがこういう極限は

分母分子に(1+cos(π/n))をかけて

(sin(π/n))^2/(1+cos(π/n))
にしてsinθ/θ→1(θ→1)の形にもっていくのがコツです。

だから

lim(n→∞)2(n^2+n)(1-cos(π/n))
=lim(n→無限)2(1+1/n)π^2/(1+cos(π/n))・(sin(π/n))^2/(π/n)^2
=π^2

またこれはさすがにお決まりで

lim(n→∞)(1+1/n)^n=e
です。

よって求める極限は

(e-1)√(π^2+1)

です。

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