受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

回転体の体積の問題、神戸大学2008年度理系の第4問の解説
昼間から数学をやってると健康的な気分やな。

神戸大学2008年理系の第4問の回転体の体積の問題の解説いきます。


[問題]
090207_m5.jpg
xy平面上に5点A(0,2),B(2,2),C(2,1),D(4,1),P(0,3)をとる。点Pを通り傾きaの直線lが、線分BCと交わり、その交点はB,Cと異なるとする。このとき、次の問に答えよ。

(1)aの値の範囲を求めよ。

(2)直線lと線分AB,線分BCで囲まれる図形をx軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積をV_1,直線lと線分BC,線分CDで囲まれる図形をx軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積をV_2とするとき、それらの和V=V_1+V_2をaの式で表せ。

(3)(1)で求めたaの値の範囲で、(2)で求めたVは、a=-3/4のとき最小値をとることを示せ。




[解答]
090207_m6.jpg
やっぱり最初は図を正確に書くことからはじめてください。
文章の意味を考えるのではなく図を書こうとします。

僕も最初この図を書き間違えて、勝手に超難問を解いていて苦労しました。


(1)直線lは傾きaでy切片はP(0,3)のy=3だから式は
y=ax+3
で、これがBCと交わり、その交点はB,Cと異なると言う条件を満たさなければなりません。
だから図からB,Cはx=2上にあるから

(Cのy座標)<a・2+3<(Bのy座標)
とやれば、言いたいことを簡単に伝えやすくて計算すると

1<a・2+3<2

-1<a<-1/2


(2)
090207_m7.jpg
やっぱりここでも図が非常に大切です。

こういうV_1やV_2の図形はx軸からは離れている三角形をx軸にまわりの回転させた回転体ですが、直線lの式がわかってるので円柱と
π∫(ax+3)^2dx
の差を考えます。

積分しなくても円柱とか円錐とか計算すればいけますが、むしろ積分より大変になると思われます。

積分は(ax+2)^3は(ax+2)^3/3aと固まりで積分しても、展開して積分してもそう計算の大変さはかわらないと思います。


V_1=(底面の半径2、高さ2+1/aの円柱)-π∫(-1/a,2)(ax+3)^2dx
です。

(底面の半径2、高さ2+1/aの円柱)
=π2^2(2+1/a)
=8π+4π/a

π∫(-1/a,2)(ax+3)^2dx
=π[(ax+3)^3/3a](-1/a,2)
=(2a+3)^3/3a-8π/3a

だから
V_1=-8π/3・a^2-12πa-10π-7π/3・1/a

また
V_2=π∫(2,-2/a)(ax+3)^2dx-(底面の半径1,高さ-2/a-2の円柱)


π∫(2,-2/a)(ax+3)^2dx
=π[(ax+3)^3/3a](2,-2/a)
=π(2a+3)^3/3a-π/3a

(底面の半径1,高さ-2/a-2の円柱)
=π1^2(-2/a-2)
=-2π/a-2π

だから

V_2=-8π/3・a^2-12πa-16π-20π/3・1/a


090207_m8.jpg
よって

V=V_1+V_2
=-16π/3・a^2-24πa-26π-9π・1/a

と求まりました。

これは螺旋骨折するくらいぶーわー計算して、うへ~ってなってたらいつまでも答えがあわないと思います。
ちょっと一回落ち着いて計算用紙をフルに使って丁寧に丁寧に計算してください。

それか諦めてください。

神戸大学の華やかな人生を諦めるか、この問題の半分だけ諦めるか。

どっちか選んでください。



(3)aで微分して-1<a<-1/2の範囲で増減しらべたらいいから
V'=-32π/3・a+24π+9π/a^2
=-(32a^3+72a^2-27)π/3a^2
=-(4a+3)(8a^2+12a-9)π/3a^2

a=-3/4で最小値をとることを示せと書いてるので(4a+3)で因数分解が出来てることに注意です。

8a^2+12a-9の部分がやっかいで、直接解を調べても何とかなりますが二次関数の性質を使うのが簡単で早いと思います。

f(x)=8x^2+12x-9のグラフを考えると

f(-1)=-13
f(-1/2)=-13
でグラフをぱっと書いたら、-1<x<-1/2で常にf(x)<0だとわかります。
だから
8a^2+12a-9
の部分は負です。

増減表を書くと
a<-3/4の範囲ではV'は負で減少
a>-3/4の範囲ではV'は正で増加

だから、a=-3/4で最小値となることが示せます。

高校数学の入試問題などの解説

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