受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

立方体の6つの面を塗り分け方の解説、円順列とじゅず順列の応用の仕方
立方体の6つの面を塗り分け方の場合の数を説明します。



[問題]

立方体の6つの面の塗り分ける。
ただし、隣り合う面は異なる色を塗るものとする。
次の場合、塗り分け方は何通りあるか。

(1)6色すべてを使う場合

(2)5色すべてを使う場合



[解答と解説]
これは隣り合う面は異なる色を塗るものとするって言う文を忘れてて、質問してきた受験間近の学生に

学生「数珠順列を使って15通りとあるんですが…」

かずゆき「ああ、ごめんごめん5色の色は決められててんな」

とか1日半くらい全然かみ合わない説明し続けた伝説の問題です。


(1)
これはやり方が決まってるので、順番としては理屈よりまずはやり方を覚えたほうがええと思うねん。

まず説明しやすいようにA,B,C,D,E,Fの6色名前をつけておいて

Aを上面に固定をします。

すると下面の色の選び方はB,C,D,E,Fの5通り。

側面は残りの4色を塗るわけやけど、回転して同じものは重複して数えたらあかんから円順列の公式を使って

(4-1)!=6通りになります。

だから5×6=30通りやな。


何故,最初Aを固定するか言うたら、さっき側面の求め方に使ったようにa,b,c,d,eの円順列はそのまま順列で数えると回転して同じものを重複して数えてしまってるからaを固定して残り4つb,c,d,eを並べて3!とか求めたわけやん。
090209_m1.jpg
それと同じで、違う色の塗り方に見えて立方体を転がしてAを上面にすると同じ色の塗り方になってたと言うように重複して数えてしまわないように最初から上面をAに固定しているねん。



(2)
これはむしろ(1)よりわかりやすいと思う。

まずA,B,C,D,Eの5色やと同じ色が2つ出てくるのが1色出てくるわけやけど、その2つ出てくる色を選んでA,B,C,D,Eの5通りです。

そしたら、その2つ出てくる色をEとします。

だからA,B,C,D,E,Eを塗るわけやな。


同じ色は隣り合わないやからEは絶対対面になります。

だからまず上面にE,下面にEを塗ります。


後は残りのA,B,C,Dの4色を側面に塗るわけやけど、(1)と違ってそのまま円順列で考えたら上下ひっくり返したら同じやつが出てきます。
090209_m2.jpg
ちょうど2つずつ同じのを数えてしまってるから2で割ります。

だから
(4-1)!/2=3
通りです。

よって3×5=15通りです。

これが数珠順列ってやつですわ。


そしたら、同じ色は隣り合ってよい場合はどうなるか言うと

(1)を使うとすると
まず同じようにA,B,C,D,Eのうち2つ同じ色になる色の選び方は5通りで、

(1)において6色のA,B,C,D,E,Fを使うのは30通りですが、この数え方でFをEに置きかえます。

そしたら、隣り合う場合も対面の場合もひっくり返して同じになる軸が存在して同じのを二つ数えてる状態になります。
090209_m3.jpg
だから30/2=15通り。

よって15×5=75通りになるわけやな。


まあこんな解き方するやつはあんまおらんとして、もっと思いつきそうな方法でこっちを練習して欲しいんですが

まず同じようにA,B,C,D,Eのうち2つ同じ色になる色の選び方は5通りで、
それがEであったとすると、A,B,C,D,E,Eを塗り分けるわけやけど


上面をAに固定して、

(i)Eが下面の時

残りの4色B,C,D,Eを側面に塗り方は円順列より(4-1)!=6通り。

(ii)E以外が下面の時
090209_m4.jpg
下面の選び方はB,C,Dの3通りで、側面はE隣りあう時はそれを1固まりと見て3色の円順列を考えて(3-1)!=2通り。
Eが対面の時は、残りはどっちに塗っても上面と下面に垂直な軸で回転させたら同じになるから1通りにきまります。
だから
3×(2+1)=9通り。

(i)(ii)より
5×(6+9)=75通りになるねん。


この立方体を単に5色で塗る方法の最後にやったやり方は、処理がややこしいですがそれなりに覚えてるから出来るってこともあるから、頭の片隅にこんな感じでやったなって覚えといてください。

知識じゃなくて処理能力が問われる問題といくら言われても、同じような処理をする問題をしたことあるかどうかって言う知識やったりします。

高校数学の公式や問題の解説




テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育

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