受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

内接円の半径が1/2以下であることを証明せよ、京都大学2006年度後期の第4問の解説
てゅるああー!!

さて、こんなノリで信用も何も無いところで京都大学2006年後期の第4問の外接円と内接円の半径の問題の解説をはじめるか。


[問題]
090212_1.jpg
平面上の点Oを中心とし半径1の円周上に相異なる3点A,B,Cがある。
△ABCの内接円の半径rは1/2以下であることを示せ。


[解答]
090212_2.jpg
三角形ABCの外接円の半径は1、内接円の半径はrってことです。

内接円の半径を外接円の半径との関係式を一回やったことある人はあると思います。
そらやったことある人はやったことあるのは当たり前やけどな。


やり方はまず正弦定理から
BC/sinA=CA/sinB=AB/sinC=2
です。
だから

BC=2sinA,CA=2sinB,AB=2sinCなわけやな。

それで内接円の方はよくやるのが、内接円の中心をPとすると

△ABC=△ABP+△BCP+△CAP
の面積の関係式を使って

1/2・AB・CAsinA=1/2・r・AB+1/2・r・BC+1/2・r・CA

から

r=AB・CA・sinA/(AB+BC+CA)
=AB・CA・BC/2(AB+BC+CA)

内接円と外接円の半径の関係式はこうやって求めるってのは適当に覚えておいてください。

まあ京大受けるなら、さすがにこれくらいは出来ると思うけどな。

ただ、長さでやると三角形である条件を使うのは
AB+CA>BC
CA+BC>AB
BC+AB>CA
とか三角不等式使ったりとか、かなり大変なのでsinの式でA+B+C=180°の条件を使う方うがやりやすいと思います。


と言うことでBC=2sinA,CA=2sinB,AB=2sinCからsinの式に直して

r=2sinAsinBsinC/(sinA+sinB+sinC)

受験数学をやりまくると、この式を見ると
A+B+C=2πの時

sinA+sinB+sinC=4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)

みたいな感じの変形できるんちゃうかな思うわけやな。


たぶんオレの時代の赤チャートには載ってたけど、たぶんこんな問題が1題は入ってると思うねん。

まあそれを覚えてくれていると、
A+B+C=π
の時は

sinC=sin(π-A-B)
=sin(A+B)

で、sinA+sinBの部分は三角関数の和から積への公式で

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)

でsin(A+B)は2倍角の公式から

sin(A+B)=2sin((A+B)/2)cos((A+B)/2)

でsin((A+B)/2)の共通因子が出てきます。

これを作り出すのが定石でした。


実際やってみると

sinA+sinB+sinC
=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)+2sin((A+B)/2)cos((A+B)/2)
=2sin((A+B)/2)(cos((A-B)/2)+cos((A+B)/2))

これでcos((A-B)/2)+cos((A+B)/2にも和から積の公式を使うか単に加法定理でばらすと考えて
cos((A-B)/2)+cos((A+B)/2=2cos(A/2)cos(B/2)
となります。

また
sin((A+B)/2)
=sin((π-C)/2)
=sin(π/2-C/2)
=cos(C/2)

だから

sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)

分子の方は

sinAsinBsinC

だから全部2倍角にしたら
cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
が約分されます。

だから

sinAsinBsinC
=8sin(A/2)cos(A/2)sin(B/2)cos(B/2)sin(C/2)cos(C/2)



r=2sinAsinBsinC/(sinA+sinB+sinC)
=4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)

とかなり見通しがよくなりました。

090212_3.jpg

まあこっからどうするねんって話しですが、
A+B+C=π
だから本当はA.Bの2変数です。

sin(C/2)
=sin(π/-(A+B)/2)
=cos((A+B)/2)

だから

r=4sin(A/2)sin(B/2)cos((A+B)/2)

です。
対称性を生かす時は、また別ですが普通はこうやって出来るだけ変数を減らすのがコツです。

するとこのcos((A+B)/2)とsin(A/2)sin(B/2)を見比べると

三角関数の積から和の公式から

sin(A/2)sin(B/2)
=1/2・(cos((A-B)/2)-cos((A+B)/2))

なのでcos((A+B)/2)の二次関数になってます。

だから平方完成して

r=2(cos((A-B)/2)-cos((A+B)/2))cos((A+B)/2))
cos(A+B)/2=x
cos(A=B)/2=y
とすると、-1≦x≦1,-1≦y≦1で

r=2(y-x)x
=-2x^2+2yx
=-2(x-1/2・y)^2+y^2/2
≦1/2

よってrは1/2以下と示せました。

色々やり方はあるようなので、研究してみると面白いかもしれませんが普通に勉強して思いつくような方法で議論に危うさが無く、しかも勉強になるものとしてはこの方法が結構良いほうだと思います

京都大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




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