受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

微分方程式の問題、京都大学2006年度理系後期の第5問の解説
これやがな!

今回のは京都大学2006年度理系後期の第5問、微分方程式の問題です。

これは恐らく理学部狙いの微分方程式解きまくってる物理屋にとっては、

きたきた、これやがな!

って萌える問題です。

これやがな!

です。


まあマニアックな物理屋には説明する必要も無いと思いますが、解いて快楽を味わってください。


オレも高校生のときは、こんなん夜中に電気消して布団に入って解いてそこにおかんが現れて

あんた…自分が何やってるかわかってるの!?

って言われてたなあ。


[問題]
090212_4.jpg
H>0,R>0とする。空間内において、原点Oと点P(R,0,H)を結ぶ線分を、z軸のまわりに回転させてできる容器がある。この容器に水を満たし、原点から水面までの高さがhのとき単位時間あたりの排水量が、√hとなるように、水を排出する。すなわち、時刻tまでに排出された水の総量をV(t)とおくとき、dV/dt=√hが成り立つ。このときすべての水を排出するのに要する時間を求めよ。



[解答と解説]
090212_5.jpg
まず容器の体積を求めておきますね。

円錐だから
V0=πR^2H/3
です。

これはオッケーやな。


それで、一体何をしたら良いのかと言うと
dV/dt=√h
ってありますが時刻tまでの排出量Vはhで表せるはずです。
それを
dV/dt=√h
に代入すると簡単な微分方程式が出来るわけです。

微分方程式と言うほどでもないけどな。

一応範囲外なわけやし。


と言うことで水の入ってる量はV0-Vです。

水の入ってるところと、容器は相似比がh:Hだから

V0:V0-V=H^3:h^3

V=V0(1-h^3/H^3)

これでVはhであらわされました。
これを
dV/dt=√h
に代入するわけやけどdV/dtって言うのはV0(1-h^3/H^3)をtで微分することですが、
hはtの関数やから合成関数の微分としてhで微分してhをtで微分します。

d{V0(1-h^3/H^3)}/dt=√h

-3V0h^2/H^3・dh/dt=√h

1=-(3V0/H^3)・h^(3/2)・dh/dt

で微分方程式ができました。

まあこれくらいなら、一応高校の範囲に無理したら見えなくもないこともないですね。

それでこの微分方程式の解き方ですが、
水が全部排出された時間をTとして両辺をt=0~Tまで積分します。
右辺はdh/dtがあるからhで積分することになるので
t=0の時、h=H
t=Tの時、h=0
と計算しておいて

090212_6.jpg

∫(0,T)dt=-∫(0,T)(3V0/H^3)・h^(3/2)・dh/dt・dt

T=-∫(H,0)(3V0/H^3)・h^(3/2)dh
=-[6V0/(5H^3)・h^(5/2)](H,0)
=2/5πR^2H^(1/2)

で解けました。

微分方程式はやり方さえわかっていれば問題は簡単なので、勉強してるとしていないかでかなりの差が出ます
だから京大の後期では微分方程式的を勉強していくてださい。

だからもう後期廃止されてる言うてるやろ!

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