受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

必要条件と十分条件って言葉の意味の解説と演習問題
必要条件と十分条件について意味を説明します。

必要条件や、十分条件って意味がわからんって言うのが意味がわからん言葉やと思うねん。
全然意味わからへんやんなこれ。

P⇒Q

PはQであるための十分条件。

QはPであるための必要条件。


はあ?ですよね。

一体どこが必要って意味で何が十分って意味なのか全然わかりません。


しかし普通の文章でも実は使ってます。

例えば


遠足に行くにはシートが必要である。

って文章なら、まあまあ意味がわかります。

小学生の時に遠足の紙にシートって書いてなかったから当日シートを持っていかんかったら先生にしばかれましたが、
確かに遠足には弁当を食べる時とかシートが必要です。
シートが必要ですが、遠足はシートだけ持っていけば十分と言うわけではありません。
シート片手に遠足行ってたら、みんなが弁当食べてる間一人で体操座りしとくことになります。
あくまでシートを持っていくことは正しい遠足をするには必要な条件です。

だから必要条件の意味は

P⇒Q
「QはPであるための必要条件である」

とは、もっとわかりやすく言うと

「Qは命題Pを成り立たせるためには必要な条件である」

ってことなわけやな。

もっと数学的な例で言うと

二次方程式
x^2+ax+b=0
が-1≦x≦1に解を持つ条件を求めよ。


って問題があったとします。

すると解答で

判別式をDとして2次方程式が-1≦x≦1で解を持つには
D≧0が必要である。

って言う文章がたまにあると思います。
まず解を持つには確かにD≧0が必要な条件になります。

「二次方程式が-1≦x≦1に解を持つ⇒D≧0」



だいぶん必要条件の意味がわかってきたところで、次は十分条件の方を説明します。


今度は十分の意味を説明します。


例えば、

新しく開発した毛生え薬の効果を調べるにはその辺のハゲのおっさん10人くらいで実験したら十分である。』

って文章の意味はわかると思います。

確かにその辺のハゲのおっさん10人くらいで毛が生えたら、だいたいどのハゲのおっさんも毛生えると言う結果を得るには十分な条件なわけや。

だから十分条件の意味は

P⇒Q
「PはQであるための十分条件である」

とは、もっとわかりやすく言うと

「Pは命題Qを成り立たたせるのには十分な条件である」

ってことです。


まあ毛生え薬の例がわかりにくいなら、もっと数学的な例では


2つの数があって和は5、積は6である。
この2つの数を求めよ。


って問題があったとすると2つの数をx,yとして
x≧yで考えたら『十分』である。

x+y=5
xy=6

で解と係数の関係からx,yは次の二次方程式の解である。

t^2-5t+6=0
因数分解して
(t-2)(t-3)=0
よりx=3,y=2

ってx≧yでやれば十分に答えは求まるわけで、x≧yって言う条件をつけないとすると

(x,y)=(2,3)(3,2)
だから2と3で若干余分な操作とかしてまうわけやな。


しかしこれは簡単な例やから十分条件を考えることの恩恵がわかりにくいけど、
『√2が無理数であることを証明せよ』
では√2を有理数と仮定して 有理数をn/m(m,nは互いの素な自然数)と置く
ってやつも、なんで互いに素と置くのかわかりにくけど、有理数は
10/15=14/21=2/3
と言うように色々な表し方があるから、分子と分母が互いに素な互いに素なもの2/3だけを調べたら十分ってことやねん。

それで有理数n/mとすると、mとnが互いに素な自然数を考えたら十分で、この証明はその互いに素であることを使わないと出来ないわけや。

それほど十分条件を考えることは大切です。

もう一つ例えば
一辺の長さが1の正八角形A1A2…A8の周上を3点P,Q,Rが動くとする。△PQRの最大値を求めよ。
って問題も最大値を求めるにはP,Q,Rが頂点にある時を考えれば十分であるってことを使わないと解けません。


話しは変わって、ここからは実践編ですが実際に必要条件や十分条件の問題を解くときは必要とか十分の意味を考えてたら負けです。

とにかく
十分⇒必要
⇒の左にあれば十分、右にあれば必要です。

悩まずに一瞬で答えてください。
090213_m1.jpg

覚え方は⇒の左に縦線を入れると十に見える。
⇒の右側の形は必要の必に似てなくもない。

です。

何も悩まずに単に左あれば十分、右にあれば必要です。

集合で言えば、必要条件の中に十分条件があります。
必要条件は十分条件を暖かく包み込んでいて、十分条件は包まれています

十分は必要に抱かれちゃった。

必要条件、十分条件の演習問題(センター試験の過去問)

センター試験2008年度
センター試験2007年度
センター試験2006年度
センター試験2005年度
センター試験2009年度

高校数学の公式や問題の解説




テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/199-3123b743
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

わんこら日記で日記とか勉強の仕方とか書いています

わんこら式数学の勉強法

メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください
勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください

詳しいプロフィール

人気blogランキングへ



にほんブログ村 受験ブログへ



学生広場

相互リンクも募集してます。

何かあれば
kazuschool_ht★yahoo.co.jp
かメールフォームからメールください。
(★を@にしてください)

カテゴリー

メールフォーム

名前:
メール:
件名:
本文:

FC2カウンター

リンク

このブログをリンクに追加する

お勧めの参考書、ノート

数学でお勧めのノートは
KOKUYOの無地
理由




センター試験は過去問が大切


チャートが終わったらお勧め
大学への数学1対1シリーズ
数学1


数学A


数学2


数学B


数学3


数学C

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード

最近のトラックバック

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

  1. 無料アクセス解析