受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

行列の問題、東京大学2007年度理系前期第4問の解説
ちょっともやし買ってきて。

東京大学2007年度理系前期第4問の行列の問題です。

[問題]
090215_m1.jpg
以下の問いに答えよ。

(1)実数aに対し、2次の正方行列A,P,Qが5つの条件A=aP+(a+1)Q,P^2=P,Q^2=Q,PQ=O,QP=Oをみたすとする。
ただし
O=
0 0
0 0
である。
このとき、(P+Q)A=Aが成り立つことを示せ。

(2)aは正の数として行列
A=
a 0
1 a+1
を考える。このAに対し,(1)の5つの条件をすべてみたす行列P,Qを求めよ。

(3)nを2以上の整数とし、2≦k≦nをみたす整数kに対して
A_k=
k 0
1 k+1
とおく。行列の積
A_nA_(n-1)A_(n-2)…A_2
を求めよ。


[問題]
こういう行列の問題は東大に限らず、かなり簡単であることが多いです。
行列って言う概念のレベルが高いため、問題は簡単なことが多いからな。

反対に数学1A的な内容的に簡単なものは問題は難しいことが多いです。

この問題も東大とは思えない、非常に簡単な問題です。
簡単さが他の問題を圧倒してます。

だから数学3Cは得点源になる可能性が高いので、しっかりやっておきましょう。

まあ東大目指してる人らなら大丈夫やな。


(1)
090215_m2.jpg
(P+Q)A=(P+Q)(aP+(a+1)Q)
=aP^2+(a+1)PQ+aQP+(a+1)Q^2
=aP+(a+1)Q
=A
ほんまそのまんまです。

(2)
これも数学はだいたい前問がヒントになってるから(1)から
(P+Q)A=A
でAの逆行列A^(-1)が存在するとしたら右からかけたら
P+Q=E
が出来るから、まず逆行列が存在するかどうか行列式を計算してaは正の数だから
Δ(A)=a(a+1)>0
よってA^(-1)が存在して右からかけて

P+Q=E

Q=E-P

これをA=aP+(a+1)Qに代入してQを消去して

A=aP+(a+1)(E-P)

P=(a+1)E-A
=
1 0
-1 0
です。

Q=E-Pだから

Q=
0 0
1 1

P,Qは一つに決まったから、これでいいとは思いますが一応5つの条件をすべてみたす行列P,Qを求めよってことなので、これは

A=aP+(a+1)Q,P^2=P,Q^2=Q,PQ=O,QP=O

を満たすって言った方が安全です。


(3)
090215_m3.jpg
まずn=3,4って具体的に入れてみましょう。

n=3のとき

A_3A_2=(3P+4Q)(2P+3Q)
=3・2P+4・3Q

n=4では

A_4A_3A_2=(4P+5Q)(3・2P+4・3Q)
=4・3・2P+5・4・3Q

だから

A_nA_(n-1)A_(n-2)…A_2
=n!P+(n+1)!/2Q

と予想できます。

別にそんなんしなくても予想できると言う厳しい声もあります。


と言うことで、きちんとした解答にしとくにはやっぱり数学的帰納法です。

090215_m4.jpg
『A_nA_(n-1)A_(n-2)…A_2
=n!P+(n+1)!/2Q』…(*)
がすべての2以上の整数nに対して成立することを数学的帰納法で証明する。

(i)n=2の時

A_2=2P+3Q
=2P+3!/2Q

よって(*)成立。

(ii)n=kの時(*)成立を仮定すると

A_(k+1){A_kA_(k-1)A_(k-2)…A_2}
={(k+1)P+(k+2)Q}{k!P+(k+1)!/2Q}
=(k+1)!P+(k+2)!/2Q

よってn=k+1の時も(+)成立。

(i)(ii)より、n≧2以上の整数nに対して(*)成立する。

よって

A_nA_(n-1)A_(n-2)…A_2
=n!P+(n+1)!/2Q

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