受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

ガウス記号の問題、早稲大学2009年度理工学部の数学第1問の解説
早稲田大学2009年度の理工学部の数学の解説をそっこうやります。

仲ええ受験生から問題文のメール届いたからな。

これは今日は解説で死ぬと思った。

まず第1問ガウス記号の問題です。

[問題]
[Ⅰ]実数xに対して、x以下の最大の整数を[x]で表す。以下の問に答えよ。
(1)14/3<x<5のとき、
[3x/7]-[3[x]/7]を求めよ。
(2)すべての実数xについて、[x/2]-[[x]/2]=0を示せ。
(3)nを正の整数とする。実数xについて、
[x/n]-[[x]/n]を求めよ。



[解答と解説]
(1)
090216_waseda200901a.jpg
ガウス記号の典型的な問題です。

ガウス記号のちょうど良い練習問題にもなってます。

早稲田ではかなり問題集的な問題が多く定石や解法をちゃんと暗記して勉強していれば楽に解ける問題ばかりになります。

ガウス記号では
[x]≦x<[x]+1

x-1<[x]≦x
をぐちゅぐちゅ使っていくとだいたい解けます。

この問題ではmを自然数として
m≦x<m+1

[x]=m
のようにxがm以上m+1未満なら[x]=mと解釈して使った方がやりやすいと思う。


ガウス記号でもう一つ大切なのはmを自然数として
[x+m]=[x]+m
もありますが、まあそれは今回は使いません。

[3x/7]と[3[x]/7]をそれぞれ求めますが、まず最初にわかるのは
4<14/3<x<5から
[x]=4やな。

やってることは単に整数で挟んでいってるだけです。

それで

3x/7もどの整数に挟まれてるか不等式使って

2<3/7<3x/7<15/7<3

やから[3x/7]=2

また

1<3[x]/7=12/7<2

より[3[x]/7]=1

よって答えは

2-1=1

(2)
090216_waseda200902a.jpg
これは若干ひねりが必要でそのままx-1<[x]≦xだけを使えば精度が悪く証明できません
そこで[x]は整数だから[[x]/2]は[x]が偶数の時は[[x]/2]=[x]/2と、[x]が奇数の時は[[x]/2]=([x]-1)/2
ってガウス記号が外せます。

だから分けて考えたらいいんですが、ガウス記号的にかっこよく不等式で解くには[[x]/2]=([x]-1)/2か[x]/2と言うことは[[x]/2]は([x]-1)/2以上[x]/2以下になるから
([x]-1)/2≦[[x]/2]≦[x]/2
これに更にx-1<[x]≦xを使って

x/2-1≦[[x]/2]<x/2…①

またy-1<[y]≦yの形から

x/2-1<[x/2]≦x/2…②

だから②-①を考えて

-1<[x/2]-[[x]/2]<1

であるが
[x/2]-[[x]/2]は整数である。

-1より大きく1未満の整数は0しかないから
[x/2]-[[x]/2]=0
ってことになるわけやな。


(3)
090216_waseda200903aa.jpg
ふにゅがなんかn=1,2,3,4,…って代入してみるふにゅとかほざいてますが、(2)はn=2の場合でした。
nの場合もこれと同じようにやったらええってことやねん。

[x]は整数だから[x]がnで割ると余りがn-1の時

[[x]/n]=[x]-n+1/n

[x]がnで割ると余りがn-2の時

[[x]/n]=[x]-n+2/n



[x]がnで割ると余りが0の時

[[x]/n]=[x]/n

これも場合わけしたらいいんですが、さっきと同じようにガウス記号の問題っぽくかっこよく不等式で示すには同じようにしたらよくて

([x]-n+1)/n≦[[x]/n]≦[x]/n
に更にx-1<[x]≦xを使って

x/n-1≦[[x]/n]<x/n…③

またy-1<[y]≦yの形から


x/n-1<[x/n]≦x/n…④

だから②-①を考えて

-1<[x/n]-[[x]/n]<1

であるが
[x/n]-[[x]/n]は整数である。

-1より大きく1未満の整数は0しかないから
[x/n]-[[x]/n]=0
ってなります。

と言うことでガウス記号は x-1<[x]≦xに慣れてください。

早稲田大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/202-9e2a5dad
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

わんこら日記で日記とか勉強の仕方とか書いています

わんこら式数学の勉強法

メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください
勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください

詳しいプロフィール

人気blogランキングへ



にほんブログ村 受験ブログへ



学生広場

相互リンクも募集してます。

何かあれば
kazuschool_ht★yahoo.co.jp
かメールフォームからメールください。
(★を@にしてください)

カテゴリー

メールフォーム

名前:
メール:
件名:
本文:

FC2カウンター

リンク

このブログをリンクに追加する

お勧めの参考書、ノート

数学でお勧めのノートは
KOKUYOの無地
理由




センター試験は過去問が大切


チャートが終わったらお勧め
大学への数学1対1シリーズ
数学1


数学A


数学2


数学B


数学3


数学C

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード

最近のトラックバック

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

  1. 無料アクセス解析