受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

一次変換と微分の問題、早稲田大学2009年度理工学部数学の第2問の解説
よっしゃ早稲田大学2009年度の理工学部の第2問の一次変換と微分の問題もそっこう解説します。


[問題]
[Ⅱ]a>0に対し、行列AをA=
a 1
-1 a
で定める。xy平面上の直線y=1をl_1とするl_1の各点を行列Aで表される1次変換で移してできる直線をl_2とし、l_1の各点をAの逆行列A^-1で表される1次変換で移してできる直線をl_3とする。また、l_1とl_2の交点をP、l_1とl_3の交点をQ、l_2とl_3の交点をRとし、ΔPQRの面積をS(a)とする。以下の問に答えよ。
(1)直線l_2と直線l_3の方程式を求めよ。
(2)3点P、Q、Rの座標を求めよ。
(3)S(a)を求めよ。
(4)S(a)を最小にするaを求めよ。

[解答]
(1)
090216_waseda200903.jpg
一次変換は恐らく問題ないですね。

l_1:y=1は媒介変数tを使って(x,y)=(t,1)と考えられてこれに行列Aをぶつけたのがl_2です。
だからl_2上の点を(x,y)とすると
x=at+1
y=-t+a
tを消去して
l_2:y=-x/a+a+1/a

l_3を求めるにはAの逆行列を求めます。
行列式はa^2+1でみんなオッケーかな?

あかん、全然あかん。


と言うことで(t,1)に逆行列をぶつけて

x=(at-1)/(a^2+1)
y=(t+a)/(a^2+1)

tを消去して
l_3:y=x/a+1/a


(2)
090216_waseda200904.jpg
単に連立方程式の解を求めて座標を求める問題やなこれは。

y=1
y=-x/a+a+1/a
を解いてPは(a^2-a-+1,1)

y=1
y=x/a+1/a
を解いてQは(a-1,1)

y=-x/a+a+1/a
y=x/a+1/a
を解いてRは(a^2/2,(a^2+2)/(2a))

で上手に出来ました。


まあモンスターハンターやりすぎたらこうなるって話しやな。

しかも女性キャラの方な。

(3)
090216_waseda200905.jpg
y=1上にあるPとQではどちらの方が右にあるかは
a^2-a+1-(a-1)=(a-1)^2+1>0
よりPが右側で底辺の長さが
a^2-a+1-(a-1)=a^2-2a+2

y=1とRではどちらが上にあるかは

(a^2+2)/(2a)-1=((a-1)^2+1)/(2a)>0
でRが上側で高さの長さが
(a^2-2a+2)/2a

に△PQRはなります。

だから面積は

S(a)=1/2・(a^2-2a+2)・(a^2-2a+2)/(2a)
=(a^2-2a+2)^2/(4a)


(4)
090216_waseda200906.jpg
微分をするだけやけど、それが難しいねんって言う問題です。

分数関数の微分になるから結構ややこしいのでちゃんとかなり注意をして間違わないように微分してください。

S'(a)={2(a^2-2a+2)(2a-2)a-(a^2-2a+2)^2}/(4a^2)
={(a-1)^2+1}(-3a^2+2a+2)/(4a^2)

で-3a^2+2a+2=0とすると
a=(1±√7)/3
だからa>0のは範囲で増減表を書くと0<a<(1+√7)/3まで減少して
(1+√7)/3<aでは増加するからa=(1+√7)/3で最小になります。

コメント欄から…
a>0だから
f(a)=√a^3-2√a+2/√aとおいて
S(a)=f(a)^2/4
と考えて微分すれば計算しやすい。

早稲田大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




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