受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

確率の問題、早稲田大学2009年度理工学部数学の第3問の解説
夜が明けてきたか…

と言うことで、早稲大学2009年度の理工学部の数学第3問の確率の問題を解説をそっこうしたいと思います。


[問題]
[Ⅲ]トランプのハートとスペードの1から10までのカードが1枚ずつ総計20枚ある。i=1、2、…、10に対して、番号iのハートとスペードのカードの組を第i対とよぶことにする。20枚のカードの中から4枚のカードを無作為に取り出す。取り出された4枚のカードの中に第i対が含まれているという事象をA_iで表すとき、以下の問に答えよ(1)事象A_1が起こる確率P(A_1)を求めよ。
(2)確率P(A_1∩A_2)を求めよ。
(3)確率P(A_1∪A_2∪A_3)を求めよ。
(4)取り出された4枚のカードの中に第1対、第2対、第3対、第4対、第5対、第6対の中の少なくとも1つが含まれる確率を求めよ。


[解答]
(1)
090216_waseda200907.jpg
まずトランプ4枚の選び方の総数は20C4通り

A_1はハートの1とスペードの1と残り2枚の選び方は18枚から2枚を選んで
18C2通り。

よって求める確率は
P(A_1)=18C2/20C4
=3/95

(2)
A1∩A2はハート1とハート2とスペード1とスペード2が必要でこれで4枚揃ってまうから1通りしかありません。

だから
P(A_1∩A_2)=1/20C4=1/4845

こんな数字が出る問題を出すから解いてて不安になるねん。

(3)
090216_waseda200908a.jpg
A_1∪A_2∪A_3は
P(A_1)は求まってて、A_2もA_3の場合も対称性から一緒で
A_1∩A_2の確率も求まっててA_2∩A_3,A_3∩A_1の確率は対称性から一緒なのでベン図で求めろと言わんばかりです。
A_1∩A_2∩A_3は6枚必要になってあり得ないから確率0です。

だから

P(A_1∪A_2∪A_3)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)
-P(A_1∩A_2)-P(A_2∩A_3)-P(A_3∩A_1)
+P(A_1∩A_2∩A_3)
=3×3/95-3×1/4845
=8/85


(4)
090216_waseda200909.jpg
ようするに
A_1∪A_2∪A_3∪A_4∪A_5∪A_6
の確率を求めろってことやなこれは。

それは大変やけど、よう考えたら(3)でA_1∪A_2∪A_3の場合は求まってるから

X=A_1∪A_2∪A_3,Y=A_4∪A_5∪A_6とすると

P(X∪Y)を求めろって問題になるから
対称性からP(X)=P(Y)で

P(X∪Y)=P(X)+P(Y)-P(X∩Y)

よりX∩Yの確率を求めたらええことになります。


これは4枚のうち2枚が1~3のどれかの対になっていて、残りの2枚が4~6のどれかの対になっていて組み合わせは
3×3=9通りあるけどこれらは全部P(A_1∩A_2)と同じやからこれの9倍ってことになります。

よって
P(X∩Y)=9×P(A_1∩A_2)です。

だから
P(X∪Y)=P(X)+P(Y)-P(X∩Y)
=2×8/85-3/1615
=301/1615

で上手に出来ました。

こうやって、前問を使おうと意識するとちゃんと定石があてはまるようになってます。
早稲田は問題集的な定石的問題が多いわけやな。

早稲田大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




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