受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

図形の最大値の問題、早稲田大学2009年度理工学部の数学第4問の解説
あかん筋肉痛になってきた。
早稲田大学の2009年度の理工学部の第4問の図形の最大値の問題の解説をそっこうやります。


[問題]
[Ⅳ]以下の問に答えよ。
(1)半径rの円に内接し、1つの対角線の長さがlであるような四角形の面積の最大値をrとlで表せ。
(2)半径rの円に内接する四角形の面積の最大値を求めよ。
(3)空間内の点Oを頂点とし、四角形ABCDを底面とする四角錐がOA=OB=OC=OD=1を満たしているとする。そのような四角錐の体積の最大値を求めよ。


[解答と解説]
(1)
090216_waseda200918.jpg

まず適当に線分の長さがlとなるように点P、Qを円周上にとります。
それで、弧PQの一方に点Sを、その反対側の弧に点Tをとってその弧上で点S,点Rを動かすことを考えます。

すると
四角形QTRS=△QRS+△QRT
になっていて△QRSの面積は点Sのみに依存し、面積が最大になるのは点Sを動かしていくと真ん中の弦PQの垂直二等分線と円周との交点のところで高さが最大になるから△QRSが最大になります。

また△QRTの面積は点Tのみに依存し、最大になるのは点Tを動かしていくと真ん中の弦PQの垂直二等分線と円周との交点のところで高さが最大になるから△QRTが最大になります。

090216_waseda200919.jpg

だから四角形QTPSが最大になるのは△QRSと△QRTが最大になる時で、それはTとSが弦PQの垂直2等分線上でちょうど線分TSは直径2rになっていて面積は

1/2×TS×PQ=rl
になります。

これはあれやな。
例えばf(x,y)って言う2変数の関数があって
f(x,y)=g(x)+h(y)
って形なら、g(x)はxにだけ依存、h(y)はyだけに依存するから
f(x,y)を最大値を求めるにはg(x)でxを動かして最大値を求めて、h(y)でyを動かして最大値を求めて、g(x)とh(y)の最大になる時がf(x,y)が最大になる時と同じ考え方です。

(2)
090216_waseda200911.jpg
(1)を使うことを意識して半径rの円の内接する四角形の面積は1つの対角線の長さをlと固定すると四角形の最大値はrlでした。
今度はlを変数としてみるとrlが最大になるのは、lが最大の時でそれは直径の2rの時です。
だから
r×2r=2r^2
になるんですわ。

(3)
090216_waseda200912.jpg
いきなり四角錐とか出てきたけど、(1)(2)と全然関係無いようで、たぶん使うんやろなって思うとわかりやすいと思います。

Oから四角形ABCDの平面に垂線OHを引く。
OH=hとしておいて(0<h<1)三平方の定理から
HA=HB=HC=HD=√(1-h^2)
だからA,B,C,Dは点Hを中心とした半径√(1-h^2)の円周上にあるわけやな。

ここで(1)(2)が使えるわけや。

だからまずhを固定して、底面の四角形ABCDの最大値は(2)から
2(1-h^2)
になります。

だから体積V(h)は

V(h)=2(1-h^2)h/3
=2(h-h^3)/3

090216_waseda200913.jpg

今度はh(0<h<1)を動かして微分して増減を調べるだけですわ。

V'(h)=2(1-3h^2)/3

で(1>)h>0だから0<h<1/√3で増加して、1/√3<hでは減少するから
h=1/√3で最大になるから最大値は

V(1/√3)=(4√3)/27


090216_waseda200920.jpg

(2)と(3)はf(x,y)って関数があって最大値を求めるときに、まずxを固定してyを動かして最大値F(x)を求めて、今度はxを動かしてF(x)の最大値を求めるって言うのと同じ考え方です。
(2)はまずlを固定して最大値をだして、lを動かして最大値を求めました。
(3)はhを固定して底面積の最大値をだして、hを動かして体積の最大値を求めました

早稲田大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




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