受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

微分と極限の問題、早稲田大学2009年度理工学部の数学第5問の解説
よっしゃこれで最後や。

早稲田大学2009年度理工学部の数学第5問の微分と極限の問題の解説をします。


[問題]
wasedarikou20094.jpg

[Ⅴ]実数p>0に対して、
f(x)=e^{(p+1)x}-e^xとおく。以下の問に答えよ
(1)f(x)が最小となるxの値s_pを求め、y=f(x)のグラフを描け。
(2)g(t)=∫(t→t+1)f(x)e^(t-x)dxとおく。g(t)が最小となるtの値t_pを求めよ。
(3)0<p≦1のとき、
1+p/2≦(e^(pー1))/p≦1+p/2+p^2
が成立することを用いて、右側からの極限lim(p→+0)(t_p-S_p)を求めよ。


[解答と解説]
(1)
wasedarikou20094_1.jpg
グラフを描けってことは二回微分も調べろってことなんだと言うことなのかちょっとわかりにくいですが、数学3ではやっぱり調べておかなければならないってことなのでしょう。

f'(x)=(p+1)e^{(p+1)x}-e^x
=e^x{(p+1)e^(px)-1}
正負にかかわるのは
(p+1)e^(px)-1
の部分でこれは底が1より大きい指数関数だから増加関数で0になるのは
x=-1/p・log(p+1)
です。これがS_pです。

二回微分すると
f''(x)=((p+1)^2)e^{(p+1)x}-e^x
=e^x{((p+1)^2)e^(px)-1}
正負にかかわるのは
((p+1)^2)e^(px)-1
の部分でこれは底が1より大きい指数関数だから増加関数で0になるのは
x=-2/p・log(p+1)

でもこれらをf(x)に代入すると値は出るには出ますがちょっとややこしいですね。
wasedarikou20094_2.jpg
増減表を書いて、漸近線も調べる必要があるから
lim(x→-∞)f(x)=0
lim(x→∞)f(x)=∞
で負の方ではy=0が漸近線になってます。

これらをグラフに書いてください。

それで最小になるのは
S_p=-1/p・log(p+1)

(2)
wasedarikou20094_3.jpg
工夫したら、積分する前に微分できますが返ってややこしいような気がせんわけでもなかったので普通に積分して微分しました。

g(t)=∫(t→t+1)f(t)e^(t-x)dx
=∫(t→t+1)(e^(px+t)-e^t)dx
=e^t[1/p・e^(px)-x](t→t+1)
=1/p・e^{(1+p)t+p}-et-1/p・e^{(1+p)t}

でtで微分をして
g'(t)=(1+p)/p・e^{(1+p)t+p}-e^t-(1+p)/p・e^{(1+p)t}
=e^t{{(1+p)(e^p-1)/p}・e^(pt)-1}

正負に関するのは
{(1+p)(e^p-1)/p}・e^(pt)-1
のとこでこれは底が正の指数関数だから増加関数で0になるのは
t=1/p・log(p/((1+p)(e^p-1)))

でここで最小値になります。

よって
t_p=1/p・log(p/((1+p)(e^p-1)))


(3)
wasedarikou20094_4.jpg
t_p-S_p
=1/p・log(p/((1+p)(e^p-1)))+1/p・log(p+1)
=-log((e^p-1)/p)^(1/p)
で問題文の
1+p/2≦(e^(pー1))/p≦1+p/2+p^2
の形が出てきます。
この左辺は1より大きいから、1/p乗しても不等号の向きはそのままで

(1+p/2)^(1/p)
≦{(e^(pー1))/p}^(1/p)
≦(1+p/2+p^2)^(1/p)

まずlim(p→+0)(1+p/2)^(1/p)
の方はたぶん結構みんなやったことある形で1+p/2だからむりやり指数の部分を2/pにして
lim(p→+0){(1+p/2)^(2/p)}^(1/2)=e^(1/2)

次にlim(p→+0)(1+p/2+p^2)^(1/p)
ですがこれはちょっと難しそうですが、実はこれも全く同じように1+p/2+p^2だから指数の部分を無理やり1/(p/2+p^2)にして
lim(p→+0)(1+p/2+p^2)^(1/p)
=lim(p→+0){(1+p/2+p^2)^(1/(p/2+p^2))}^(1/2+p)
=e^(1/2+0)
=e^(1/2)

よってはさみうちの原理から
lim(p→+0){(e^(pー1))/p}^(1/p)=e^(1/2)

従って答えは

lim(p→+0){-log((e^p-1)/p)^(1/p)}
=(-log(e^(1/2)))
=-1/2

と求まりました。

これは、最後まで計算がたどり着くのが大変な問題やったな。

早稲田大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説



旧画像
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