受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

積分の不等式とlog(2)の値、東京大学2007年度前期理系第6問の解説
今日はパピーの日やな。
どういう意味やねん。

東京大学の2007年度前期理系第6問の積分の問題を解説します。


[問題]
090220_m1.jpg
以下の問いに答えよ。
(1)0<x<aを満たす実数x,aに対し、次を示せ。
2x/a<∫(a-x,a+x)(1/t)dt<x(1/(a+x) + 1/(a-x))
(2)(1)を利用して、次を示せ。
0.68<log(2)<0.71
ただし、log(2)は2の自然対数を表す。


[解答と解説]
(1)
090220_m2.jpg
たぶんグラフを書いて曲線の面積を長方形や台形で挟む典型的な問題と思われるな。

ただ長方形はよくやったことあるかもしれんけど、台形の方はあんまりやったことないかもしれません。
今回のは台形で挟まなければ、この式が出ないから台形で挟むのを何となく学んでいってください。

まず
f(t)=1/t
とおいて(t>0)
f'(t)=-1/t^2
f''(t)=2/t^3>0
だから、下に凸と言うことがわかります。

まず積分範囲の幅は
a+x-(a-x)=2x
だから不等式の左は
2x/a=2x・(1/a)
と考えて、1/a=f(a)はa-xとa+xの中点がaでの値です。

だからt=aでの接線と直線t=a-xとt=a+xで囲まれた台形の面積を考えるとこれは
2x・(1/a)=2x/a
になります。
この接線はy=f(t)が下に凸だから、曲線より下側になります。

だから
2x/a<∫(a-x,a+x)(1/t)dt


一応接線がa+xでt軸より下になってしまったらあかんような気がするから、

接線:y=-1/a^2・(t-a)+1/a
=-1/a^2・t+2/a
=-1/a^2・(t-2a)
ですがt=x+aではx+a<2aだからこれは必ず正になってt軸より下になることはありません


不等式の右は
x(1/(a+x) + 1/(a-x))
=2x・(1/(a+x) + 1/(a-x))/2
だからf(a+x)=1/(a+x)、f(a-x)=1/(a-x)を上底と下底とした高さ2xの台形の面積を考えます。

これも曲線が下に凸だから2点(a-x,1/(a-x)),(a+x,1/(a+x))を結んだ直線は
a-x<t<a+x
で曲線より図から上になるから
∫(a-x,a+x)(1/t)dt<x(1/(a+x) + 1/(a-x))

よって与式示せました。
090220_m3.jpg
ちなみに数式的にやるには
0<s<aとなるsに対して
1/(a-s)-1/a>1/a-1/(a+s)
となることを使います。
t=aから距離がsの2点を考えると、その時のf(a-s)とf(a)の差はf(a)とf(a+s)の差より大きいって意味です。
これをsで0からxまで積分して
∫(0,x){1/(a-x)-1/a}ds
>∫(0,x)(1/a-1/(a+s))ds

∫(0,x)(1/(a+s))ds+∫(0,x)(1/(a-s))ds>2∫(0,x)(1/a)ds

で∫(0,x)(1/(a+s))dsはt=a+s
∫(0,x)(1/(a+s))dsはt=a-s
と置換すると

∫(a,a+x)(1/t)dt-∫(a,a-x)(1/t)dt
>2∫(0,x)(1/a)ds

∫(a-x,a+x)(1/t)dt
>2∫(0,x)(1/a)ds

と言う方法でも示せます。

(2)
090220_m4.jpg
ここまでくると、(1)の
2x/a<∫(a-x,a+x)(1/t)dt<x(1/(a+x) + 1/(a-x))

2x/a<log((a+x)/(a-x))<x(1/(a+x) + 1/(a-x))

で(a+x)/(a-x)=2と置いたら終わりですね。

x=a/3
でまずは左に代入して

2x/a=2/3
=0.66666…<0.68

だから…

おえ~!?

ってなります。


もう椅子に縛り付けられて一時間ぐらい擽られて、くすぐってる男が

「疲れてきたなあ」

って、これでやっと解法される…って思ったとこで、ガチャって扉が開く音がして

「よっしゃ、交代しよか~」

ってもっとゴツいおっさんが入ってきて、くおら~!!ってくすぐられまくると言う絶望感みたいな感じや。

でもlog(2)は出てこなあかんわけやから、
log(√2)かlog(4)辺りはどうか?って考えてみます。

すると
log(4)の場合は
(a+x)/(a-x)=4
からx=3a/5
で2x/a=6/5=1.2<2×0.68
で瞬殺されます。


だから大きくしていっても無理っぽい感じがします。

と言うことで
(a+x)/(a-x)=√2
を調べてみます。

090220_m5a.jpg

x=(3-2√2)a


2x/a=6-4√2
>6-4×1.14143
=0.3428>1/2×0.68

で何とかこれで示せました。


まあ√2の値を使わなくても

6-4√2>1/2×0.68

5.66>4√2
を示せばええわけやから、5.66^2-(4√2)^2をひたすらにごり押し計算して正を示せば完璧です。


不等式の右側の方は

2ax/(a^2-x^2)=(√2)/4>1.41413/4
=0.353575<1/2×0.71

でこっちも何とか示せました。


こっちの方ももちろん√2の値をしらなくても
(1/2×0.71)^2-((√2)/4)^2
が正と示したら完璧です。

と言うより、こっちの方が簡単なような気も…。

整理して
1/2×0.68<log(√2)<1/2×0.71

0.68<log(√2)<0.71

円周率は3.05より大きいことを証明せよみたいに東大はたまにこういう微妙な計算させますね。

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