受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

二次不等式の問題
いつものように数学の問題の質問を受けたけどメールアドレスが無かったのでブログに書いときます。
たぶん見てると言うことで。
携帯でも見れるようにちゃんと携帯で写メのサイズの設定で撮ってます。


[問題]
aが実数の定数で、二次不等式x^2-x≦0…①、x^2-2ax+a^2+2a-8>0…②のとき、
(1)①を満たすすべてのxが②を満たすようなaの値の範囲を求めよ。
(2)①②を同時に満たす実数xが存在しないようなaの値の範囲を求めよ。


[解答・解説]
(1)
080510_201421.jpg
①は因数分解してxの範囲が出ます。
その範囲で常に②の不等式が成り立つようなaの値の範囲を求めます。
f(x)=x^2-2ax+a^2+2a-8
=(x-a)^2+2a-8
は軸がx=aの二次関数でaの値によって0≦x≦1の左側、0≦x≦1の中、0≦x≦1の右側の三つの場合が考えられてその通り場合わけすれば良いですが、
0≦x≦1で常に成り立つようにするってことは具体的な値x=0でも成り立つはずだからx=0で成り立つaの範囲を求めるとa<-4,2<aで範囲をしぼることが出来て軸x=aが
0≦x≦1の左側、0≦x≦1の右側
の二つだけ考えればよいことになります。

よくこうやって

『全ての値で成り立つ⇒ある値でも成り立つ』

と言うように必要条件を使うと範囲が絞られて簡単になったり難しい問題でもこう考えると簡単に答えが出ることもあります。

軸x=aが左側のときはf(0)≧0
軸x=aが右側のときはf(1)≧0
であれば良いですが最小値の候補f(0)とf(1)が0以上であればよい、つまり
f(0)≧0かつf(1)≧0
であれば良いのでこれを求めます。

(2)

080510_201544.jpg

①の範囲で②を満たさない、つまり①の範囲で常にf(x)≦0になるようなaの範囲を求めます。
y=f(x)は下に凸な二次関数だから0≦x≦1では端点で最大値をとります。
最大値の候補が0以下になれば良いつまり
f(1)≦0かつf(0)≦0
であれば良いから、これを求めればオッケーです。


高校数学の問題と解説




テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育

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