受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

円周率を求める方法。東京大学の2003年前期理系の第6問の解説付き
円周の長さは小学生の時は円に内接する三角形を考えて、円周の長さは直径を一辺とした正三角形に近いからだいたい
直径×3
になると習いました。

こんな教育あかんわ!ってよく問題になってるやつやな。


しかし実際には円周は

直径×3.141592…

って直径にかける定数である円周率は永遠と法則性のない小数が続きます。

そこで円周率はとりあえずπって言う記号で書いて円周の長さは

直径×π

半径をrとすると

2rπ

とかしました。


このπを求めるにはどうしたらええかって言うたら、最初の三角形に近似するみたいな考えを用いると

090218_m1.jpg

円に内接する正多角形をどんどん角の数を増やせば、正多角形の周の長さは円周になりそうです。。

高校で数学3Cまでやるとこれは求められます。
では実際に円周率を求めてみるとしましょか。。

090218_m2.jpg

半径1の円に内接する正n角形を考えて、円の中心から隣り合う2頂点A,Bに線を引いて三角形OABとすると
∠AOB=2π/n

それで三角比から
AB=2sin(π/n)

この正n角形は周の長さはABがn個分で
2nsin(π/n)
これをn→∞の極限値を求めると

lim(n→∞)2nsin(π/n)
=lim(n→∞)2πsin(π/n)/(π/n)
=2π

よって円周率はπと求まりました。


今ボコボコにしばかれそうになった。

ほんまは外接する方も求めて挟む必要がありますが。


まあでもこれは一応、数学3Cの問題にあるので覚えて置いてください。


こうすると三角関数の定義が角度一周を2πと定義してて意味がなくなってしまうから、どうも三角関数の性質を調べなければならないってことになります。


ここで一つ高校生でも求められる、円周率の求め方を紹介しときたいと思います。

090218_m3.jpg

まず角度がモロに出た積分がありました。

∫(0,a)1/(1+x^2)・dx
はx=tanθと置換してa=tanαとすると
dx=1/(cosθ)^2・dθ

1/(1+(tanθ^2)=(cosθ)^2
だったから
∫(0,α)(cosθ)^2/(cosθ)^2・dθ
=∫(0,α)dθ


この積分はよくやると思うので、やり方覚えててください。

∫(0,a)1/(1+x^2)・dx
をやればモロに角度が出ます。
a=1とするとα=π/4だから

∫(0,1)1/(1+x^2)・dx=π/4

です。

ところで、公比-x^2の等比数列{(-x^2)^(n-1)}の1からn+1項までの和を考えると

1-x^2+x^4+…+(-1)^n・x^(2n)
=(1-(-1)^(n+1)・x^(2n+2))/(1+x^2)

でした。

ここに1/(1+x^2)の形が出てきてるから

1/(1+x^2)-∑(k=0~n)(-1)^k・x^(2k)
=(-1)^(n+1)・x^(2n+2)/(1+x^2)

でこれをxで0から1まで両辺積分します。

すると

∫(0,1)1/(1+x^2)・dx=π/4

やったからこれはオッケーで

∫(0,1)∑(k=0~n)(-1)^k・x^(2k)dx
=∑(k=0~n)((-1)^k)/(2k+1)

これも項ごとに積分したらオッケーやな。

右辺の方は

だから

π/4-∑(k=0~n)((-1)^k)/(2k+1)
=∫(0,1)(-1)^(n+1)・x^(2n+2)/(1+x^2)・dx

となりました。

この左辺の極限
lim(n→∞)|π/4-∑(k=0~n)((-1)^k)/(2k+1)|=0
が証明できたら

π/4=lim(n→∞)∑(k=0~n)((-1)^k)/(2k+1)
になりました。

これを証明するにははさみうちの原理を使って

|π/4-∑(k=0~n)((-1)^k)/(2k+1)|
=|∫(0,1)(-1)^(n+1)・x^(2n+2)/(1+x^2)・dx|
(右辺の式へ)
≦∫(0,1)x^(2n+2)/(1+x^2)・dx
((-1)^kをとった方がでかい)
≦∫(0,1)x^(2n+2)dx
(1/(1+x^2)<1だから)
=1/(2n+3)

でlim(n→∞)1/(2n+3)=0

だから

π/4=lim(n→∞)∑(k=0~n)((-1)^k)/(2k+1)

と証明できました。

π/4=1-1/3+1/5-1/7+…


こんな高校の範囲の道具だけで円周率が求まるとは面白い話しやな。


しかしこれはあの有名な問題、東京大学の2003年前期理系の第6問の

[問題]
円周率が3.05より大きいことを証明せよ。


にはあんま使われへんわけやな。

と言うのは
π=4(1-1/3+1/5-1/7+…)

マイナスとか出てきて3.05より大きいとか証明するの大変やし、中々3.05を越えないらしい。

そんなん1/19とか計算大変やしな。


この問題の解き方はいたってシンプルに最初の内接の方法で

2π>2nsin(π/n)


π>nsin(π/n)

だからn=8くらいでやって(n=6とかも試して無理っぽいからn=8くらいにしてみる)

π>8sin(π/8)
=8√((1-sin(π/4))/2)
=4√(2-√2)

3.05より大きければいっから

√2=1.4142…

より

π>4√(2-1.415)
=4√(0.585)

(4√(0.585))^2-3.05^2
=9.36-9.3025
=0.0575>0

だから

π>3.05

って感じで求めます。

√2の値がわからなくても
4√(2-√2)>3.05

16(2-√2)>3.05^2

32-3.05^2>16√2
だから最悪
(32-3.05^2)^2-(16√2)^2
をごり押し計算して正を示せばオッケーです。


だから東大目指すなら円周率πの級数とか覚えとくのが常識とかそういう専門的知識を問うてるわけでは全然ちゃうから、その辺は誤解しないでください

高校数学の公式や問題の解説

東京大学の入試の数学の過去問の解説




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