受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

確率の問題、東京大学2007年度前期文理共通、理系第5問、文系第4問の解説
あ、今なんか心が動いたわ…


ええから、はよ始めろって話しやなこれ。

今日のは、東京大学2007年度理系の第5問、文系の第四問共通の確率の問題です。


[問題]
090219_m1.jpg
表が出る確率がp,裏が出る確率が1-pであるような硬貨がある。ただし、0<p<1とする。この硬貨を投げて、次のルール(R)の下で、ブロック積みゲームを行う。
(R)
①ブロックの高さは、最初は0とする。
②硬貨を投げて表が出れば高さ1のブロックを1つ積み上げ、裏が出ればブロックをすべて取り除いて高さ0に戻す。

nを正の整数、mを0≦m≦nをみたす整数とする。
(1)n回硬貨を投げたとき、最後にブロックの高さがmとなる確率p_mを求めよ。
(2)(1)で、最後にブロックの高さがm以下となる確率qmを求めよ。
(3)ルール(R)の元で、n回の硬貨投げを独立に2度行い、それぞれ最後のブロックの高さを考える。2度のうち、高い方のブロックの高さがmである確率r_mを求めよ。
ただし、最後のブロックの高さが等しいときはその値を考えるものとする。

[解答と解説]
(1)

○:表、×:裏、□:表または裏
とすると
□は1-p+p=1で確率は当然1になります。

□□…□×○○…○
って表がm回最後に連続で出て、その一つ前が×で他はどっちでもええから求める確率は

p_m=(1-p)p^m

ってやると、

090219_m2.jpg

こんなことなります。

こんな叩き殺されたくなかったら、具体的にn=3で実験してください。
n=3で

m=0の時
□□×の確率(1-p)
m=1の時
□×○の確率(1-p)p
m=2の時
×○○の確率(1-p)p^2
m=3の時
○○○の確率p^3

このm=3の時をみてやってください。
(1-p)が出ない特殊な形です。

だからm=nとm<nの場合わけが必要になります。


こうやって実験するとm=nはなんかちょっと違うってわかるねん。


これを見落とすか見落とさないかでこの問題はたぶん大きく差がでます。

この問題はとても東大とは思えないセンター試験より簡単な問題やから東大受けるような人は全員すぐに解けるやろ。
だから、これ忘れると忘れないでたぶん大きく差が出るねん。

たぶんな。


と言うことで
090219_m3.jpg
m=nの時は
全部○でp_m=p^m
m<nの時は
□□…×○○…○
と言うように最後が表が連続m回でその一つ前が裏で後はどっちでもよくて
p_m=(1-p)p^m

だから
p_m=
p^m(m=n)
(1-p)p^m

(2)
090219_m4.jpg
ブロックの高さ最後にm以下になるには
m=nの時
q_m
=∑(k=0~m)p_k
=p^m+∑(k=0~m-1)(1-p)p^k
=p^m+{(1-p)(1-p^m)}/(1-p)
=1
よう考えたら全部でm回しかないからブロックは絶対m個以下なので当たり前です。
こんなん∑計算とか必要ありませんでした。

m<nの時
q_m
=∑(k=0~m)p_k
=∑(k=0~m)(1-p)p^k
={(1-p)(1-p^(m+1)}/(1-p)
=1-p^(m+1)
これもよう考えたら、最後にm+1回連続でpが出る場合の余事象だからわざわざ計算することもありませんでした。

だから
q_m=
1(m=n)
1-p^(m+1)(m<n)

(3)
090219_m5.jpg
一度目がm以下で二度目がmの時の
q_mp_m

一度目がmで二度目がm以下の時の
p_mq_m

とこの二つを足すと、

一度目も二度目もmの時の
p_mp_m
を重複して数えてるから、r_mは
r_m=2p_mq_m-p_m^2

m=nの時
r_m=2p^m-p^(2m)

m<nの時
r_m=2(1-p)p^m(1-p^(m+1))-(1-p)^2p^(2m)
=(1-p)p^m(2-p^m-p^(m+1))

だから
r_m=
2p^m-p^(2m)(m=n)
(1-p)p^m(2-p^m-p^(m+1))(m<n)

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