受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

∫(0,∞)sin/xの値の求め方、複素積分の方法
今日は∫(0,∞)sin/xの値の求め方を説明します。


これは物理でもたまに出るので一応一回くらいは求めてから使いたいとこです。

sinxxintegral_1.jpg

これは広義積分ってやつで
lim(R→∞,ε→0)∫(ε,R)(sinx/x)dx
を求めろってことです。

リーマンルベーグの定理とか使って普通に解析でも求められますが、複素関数で求めます。

z∈Cに対して
sinz=(e^(iz)-e^(-iz))/2i
でした。

だから
lim(R→∞,ε→0)∫(ε,R)(sinx/x)dx
=lim(R→∞,ε→0)1/(2i)・∫(ε,R)((e^(ix)-e^(-ix))/x)dx
=lim(R→∞,ε→0)1/(2i)・(∫(ε,R)(e^(ix)/x)dx+∫(-R,-ε)(e^(ix)/x)dx)

これを求めるには
f(z)=e^(iz)/z
と置いて写真のように半円に沿って積分します。

半円と言っても原点のとこは半径εの半円で上に逃げて避けます。

f(z)を

実軸の-εの位置から原点を中心として半径εの虚軸の正側の半円の経路をC_0

実軸のεからRまでの経路をC_1

実軸のRの位置から原点を中心と半径Rの虚軸の正側の半円の経路をC_2

実軸の-Rから-εまでの経路をC_3

とします。


するとこの積分路の内部でf(z)は正則だから

∫C_0 f(z)dx+∫C_1 f(z)dz+∫C_2 f(z)dz+∫C_3 f(z)dz=0

です。

これで何をしたいかと言うと

∫(ε,R)(e^(ix)/x)dx+∫(-R,-ε)(e^(ix)/x)dx
=∫C_1 f(z)dz+∫C_3 f(z)dz
=-∫C_0 f(z)dx-∫C_2 f(z)dz

だからε→0、R→∞で∫C_0 f(z)dxと∫C_2 f(z)dzがある値に収束すれば∫(0,∞)sin/xが求まります。

まず
∫C_0 f(z)dx
はz=εe^(iθ)と置換できて
∫C_0 f(z)dx
=∫(π,0)e^(iεe^(iθ))/(εe^(iθ))・iεe^(iθ)dθ
=-i∫(0,π)e^(iεe^(iθ))dθ

これをε→0としたいんですが、論理的には積分してからε→0としなければならないところです。 しかしそこはlimと∫の順序はe^(iεe^(iθ))は1に収束して絶対値の積分が有限なので交換できます。

limと∫が交換できる条件はこのように各点収束して絶対値の積分の値が有限ならばオッケーです。

まあこんなん数学科だけやっとけばええやろ、しばきまわしたろか、専門書のかどっちょで後頭部どついたろか思いますが…これに一応気をつけておかないと一様収束しないものをlimと∫交換してもておかしな値になる時があります。

limと∫を交換していいかどうかはややこしい問題なので高校生はあんまこれ読んでないとは思いますが高校の範囲でlimと∫を交換してはいけないから、気をつけてください。

sinxxintegral_2.jpg

と言うことで
∫C_0 f(z)dx
=-i∫(0,π)e^(iεe^(iθ))dθ
→-i∫(0,π)dθ
=-iπ


次は
∫C_2 f(z)dx
はR→0になることを証明します。
と言うのはz=x+yiとすると
e^(iz)
=e^(ix-y)
=e^(ix)e^(-y)
でe^(-y)から、虚部を大きくしていくと0になりそうな感じがするから、
R→∞で∫C_2 f(z)dx→0
になるのではないか?と思われます。

だから絶対値をとって0に収束することを示します。

z=Re^(iθ)と置換できて
|∫C_2 f(z)dx|
=|∫(0,π)e^(iRe^(iθ))/(Re^(iθ))・iRe^(iθ)dθ|
=|∫(0,π)e^(iRe^(iθ))dθ|
=|∫(0,π)e^(iRcosθ-Rsinθ)dθ|
=|∫(0,π)e^(iRcosθ)・e^(-Rsinθ)dθ
≦∫(0,π)|e^(iRcosθ)||e^(-Rsinθ)|dθ
=∫(0,π)e^(-Rsinθ)dθ
=2∫(0,π/2)e^(-Rsinθ)dθ
((0,π/2)でsinθ≦2θ/πより)
≦2∫(0,π/2)e^(-2Rθ/π)dθ
=[-(π/R)e^(-2Rθ/π)](0,π/2)
=-πe^(-R)/R+π/R→0(R→∞)

だから
lim(R→∞,ε→0)∫(ε,R)(sinx/x)dx
=lim(R→∞,ε→0)∫(ε,R)(sinx/x)dx
=lim(ε→0,R→∞)1/(2i)・(-∫C_0 f(z)dx-∫C_2 f(z)dz)
=(iπ)/(2i)
=π/2

よって
∫(0,∞)(sinx/x)dx=π/2

090220_m6.jpg
090220_m7.jpg
一応旧画像
新しい方のは透けるから困ったもんや

数理物理




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